• ベストアンサー
  • 困ってます

数列の問題です。

数列の問題です。 数列{an}に対して、 sn=a1+a2+……+an tn=s1+s2+……+sn (n=1、2、3……) とおく。 (1) an=2^2n-1|の時、数列{sn}の一般項を求めよ。 (2) an=3の時、数列{tn}の一般項を求めよ。 (3) t1=tn+1|=3tn+(n+1)(n+2)を満たす時、数列{an}の一般項を求めよ。 以上(1)~(3) 解答お願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

ANo.1です。補足ありがとうございます。 今回の回答文では数列anをa[n]、数列snをs[n]、 数列tnをt[n]と書く事にします。 > (3) > t1=tn+1|=3tn+(n+1)(n+2)を満たす時、数列{an}の一般項を求めよ。 質問文にある式 t[1] = t[n+1] = 3t[n] + (n+1)(n+2) の意味がまだ分かりません。 t[1] = t[n+1]となっていると、 数列t[n]の全ての項t[1], t[2], t[3], t[4], …は t[1]と同じ値を取る事になります(数列t[n]は定数の数列になる)。 でもt[n+1] = 3t[n] + (n+1)(n+2)となっているので、 数列t[n]は定数の数列とはならないはずです。 t[1]の値を書き忘れたのでしょうか? 本来は t[1] = (何らかの値) t[n+1] = 3t[n] + (n+1)(n+2) という形の漸化式なのでしょうか? そうだという前提で話をすすめます。 a[n]の第1項から第n項までの和を表す数列s[n]が与えられた時、 a[n] = s[n] - s[n-1] という式を使ってa[n]の一般項を求める事ができますよね (何故そうなるのか分からなければ、右辺に s[n] = a[1] + a[2] + … + a[n-1] + a[n]と s[n-1] = a[1] + a[2] + … + a[n-1]を代入してみて下さい a[n] = s[n] - s[n-1]を利用して数列a[n]の一般項を求める問題は良く出ます)。 また今回の問題の場合、数列s[n]の第1項から第n項までの和を表す 数列t[n]が与えられているので、 s[n] = t[n] - t[n-1] という式を使ってs[n]が求められます。 なのでこの問題は (手順1) s[n] = t[n] - t[n-1]を使ってs[n]を求める (手順2) a[n] = s[n] - s[n-1]を使ってa[n]を求める という手順で解けると思います。 t[n]の一般項が漸化式から求まるなら求め、 それを利用して手順1, 手順2を実行してみてください。 (おまけ) 実はt[n], s[n]の一般項を求めなくても解ける方法があります。 「t[n]の漸化式」から「s[n]の漸化式」を作り (s[n] = t[n] - t[n-1]を利用すると作れます)、 さらに先ほど作った「s[n]の漸化式」から「a[n]の漸化式」を 作ることができます(a[n] = s[n] - s[n-1]を利用すると作れます)。 あとは作った「a[n]の漸化式」だけを解けばa[n]の一般項が求まります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

すみません。 見落としてました、 t1=2でした。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

> (1) > an=2^2n-1|の時、数列{sn}の一般項を求めよ。 縦棒の意味はなんでしょうか? 数列snは数列anの第1項から第n項までの和なので、 anが簡単な式で表わされているなら sn = Σ ak (k = 1 ~ n) で求める事ができると思いますが…。 > (2) > an=3の時、数列{tn}の一般項を求めよ。 数列tnは数列snの第1項から第n項までの和です。 なので tn = Σ sk (k = 1 ~ n) で求められます。 tnを求めるためにはsnの一般項が必要なので、 まず最初にsnの一般項を求めましょう。 これはものすごく簡単です。 s1, s2, s3, …を実際に計算して眺めてみれば、 snの一般項が推察できるはずです。 snが求まったら、tn = Σ sk (k = 1 ~ n)を用いて tnの一般項を求めましょう。 > (3) > t1=tn+1|=3tn+(n+1)(n+2)を満たす時、数列{an}の一般項を求めよ。 縦棒の意味はなんでしょうか? 数式の意味が分からないので、この問題に関しては何ともいえません。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

分かりづらくてすみません。 |は Sn+1(Sn+1という項) とSn +1(Snという項+1) の差別化のために縦棒入れました。 Sn+1|は前者です。 本来は、|入れなくても混同しないものなんでしょうか。

関連するQ&A

  • 数列の問題についてです

    数列anは初項a1から第n項までの和Snが、Sn=n+2anを満たしているとき、数列anの一般項を求めよ。 この問題での解答が写真です。 解答ではSn+1 -Sn = an+1 を使うことで求めていますが、 代わりにSn- Sn-1 = anを使って、n≧2とn=1に場合分けして解いてもよいのですか?

  • 数列

    数列{An}の初項A1から第n項Anまでの和をSnと表す。 この数列がA1=0、A2=1、(n-1)^2=Sn(n≧1)を満たすとき、一般項Anを求めよ。 n≧2のとき An=Sn-Sn-1=… とやっていったのですが、An=0 と変なことになってしまいました。 解答のヒントでもよいので、よろしくお願いします。

  • 数列

    数列a1,a2,……,anがa1=2,an+1=3an+8(n=1,2,3,……)を満たしているとき (1)一般項anをnで表せ。 (2)初項から第n項までの和Snをnで表せ。 解答 (1)an=2*3^n-4 (2)Sn=3^n+1-4n-3 階差数列を使ったらよさそうなのは分かりますが、 いまいちピンときません。 途中式含めて解説をよろしくお願いします。

  • 数列

    数列{an}の初項から第n項までの和SnがSn=n^2+1(n=1,2,3,……)で表されるとき (1)a10+a11+…+a20を求めよ。 (2)一般項anを求めよ。 解答 (1)319 (2)a1=2, an=2n-1(n≧2) an=Sn - Sn-1という公式を使えばいいんですか? 途中式含めて教えてもらえたら助かります! よろしくお願いします。

  • 数列

    数列anの初項a1から第n項anまでの和をSnと表す。a1=1,an≠0であり、an=4Sn^2 – SnSn-1 – 3Sn-1^2 (n=2,3,…)を満たすとき、一般項anはan=(1)×(2)^(n-1) (n≧2),1(n=1)となる。 (1)(2)を求めよ。 よろしくお願いします。

  • 数列の問題です。お願いします

    数列an(n≧1)はa1=6であり a1+a2+・・・+an=sn(n≧1) とおくとき次の式が成り立っているとるとする sn+1+sn/2=(sn+1-sn/2)^2 (1) snをan+1を用いて表せ (2)n≧2のときan+1とanの関係式を求めよ (3)数列anの各項が全て正の数の時、anをnの式で表しΣ(∞)(n=1)1/snを求めよ

  • 数列を教えて下さい

    数列{an}は初項1の等差数列であり、a4+a5=16を満たしている。数列{an}の初項から第n項までの和をSnとし、数列{bn}、{cn}をそれぞれbn=1/2(Sn+S(n+2))(n=1,2,3,……)、cn=√(Sn×S(n+2))(n=1,2,3,………)によって定める。 (1)anをnを用いて表せ。→解けました。 an=2n-1です。 (2)Snをnを用いて表せ。また、bn、cnをそれぞれnを用いて表せ。 (3)b1、c1、b2、c2、b3、c3、………、bk、ckと並べた数列がある。この数列の初項から第2m項までの和をmを用いて表せ。ただし、m=1,2,3,………とする。 解答と解説をよろしくお願いします。

  • 数列

    問題は 数列〔an〕の初項から第n項までの和SnがSn=n^3+3n^2+2nのとのと、 一般項anを求める問題です。 求める際にn=1,n≧2の時を求めるのでしょうか? それから an=Sn-S(n-1)をなぜ利用するのでしょうか?

  • 数列の問題が分かりません

    数列{an}の初項から第n項までの和SnがSn=-7+2n-an(n≧1)で表されている。 (1)初項a1を求めよ。 (2)anとan+1のみたす関係式を求めよ。 (3)anをnで表せ。

  • 数列(漸化式)

    どの項も0でない数列{Tn}が与えられたとき A0=0、A1=1 An+1=(Tn+Tn+1)An/(TnTn+1) - (An-1)/Tn^2 (n=1,2,3・・・)で数列{An}を定義する (1)一般項AnをT1、T2・・・、Tnを使って表せ (2)特にTn=2^nのときAnを求めよ という問題に取り組んでいます n=1、2、と数値を入れていったところ (1)はAn=(T1+T2+・・・Tn)/(T1*T2*・・・*Tn) となったのですが(自信なし) 問題文に「T1、T2・・・、Tnを使って表せ」とある場合この時点でとめていいのでしょうか? 証明をしたりしなければいけないのでしょうか? もし証明するとしたら帰納法を利用することはできるのでしょうか? 質問ばかりで申し訳ありませんが、回答いただけるとありがたいです