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数学B、数列についての質問です

数列の一般項を求めるパターン、例えば特性方程式やズラして引くなど いろいろありますが、このような問題もパターンでしょうか? 【問題】 数列{An}は A1=6 A(n+1)=2An-3n+1 (n=1,2,3…) (1)Bn=An-3n-2(n=1,2,3…)で定められる数列{Bn}が等比数列であることを示せ (2){An}の一般項をもとめよ An=2^(n-1)+3n+2 となりますが A(n+1)=2An-3n+1 のように 漸化式に『数列』と『n』が混在している時 この問題では Bn=An-3n-2 として考える誘導がついていましたが どうしてこのような数列を考えたのでしょうか? これはたまたま上手くいくからなのでしょうか? それとも何か理由があるのでしょうか?

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  • 回答No.2

>どうしてこのような数列を考えたのでしょうか? > >これはたまたま上手くいくからなのでしょうか? ぶっちゃけた話「たまたま」だと思ってもかまいません. この手のものは 誘導がつくか,帰納法で処理するのが現実的です. たまたま思いつけば,直接処理すればいいのです. しかし・・・それなりに計算はあります. 漸化式というか数列ってのは, 隣り合う項との違いが重要なので, 階差をとるのが自然です. 階差を差分ということもあります #等比数列の場合は比をとりますが,対数を考えればこれも差です. #比よりもまずは差を考えるほうが現実的です. さて問題の数列 素直に階差をつくると,nが2以上だとかいう細かいことは後回しにして a_{n+1} = 2 a_n - 3n + 1 a_{n} = 2 a_{n-1} - 3(n-1) + 1 引き算して a_{n+1} - a_{n} = 2 (a_{n} - a_{n-1}) - 3 B_n = a_{n} - a_{n-1}とおけば B_{n+1} = 2 B_{n-1} - 3 これなら簡単にとけます. 注意しなければならないのは,nの最初の値です. 階差数列の式には条件がついてますのでそれに注意. 進展がなければこの方針でいけばいいのですが・・・ これだとnの条件の処理が面倒です. そこでこの新しい「階差数列の漸化式」がなぜ解けるのかと ことを考えると・・・3nが消えていることが原因です. だから,3nを消すことを考えます・・・・ となると a_nの係数が2ですので もともとの漸化式の両辺から 3n を引くといいのです a_{n+1} -3n = 2a_{n} - 3n +1 -3n a_{n+1} -3n = 2 (a_{n} - 3n) + 1 ここでよくみると 左辺が「3n」になってるのがうれしくないです. 3(n+1)であればいいですので,さらに3をひきましょう a_{n+1} - 3n -3 = 2 (a_{n} - 3n) - 2 a_{n+1} -3(n+1) = 2 (a_{n} - 3n) - 2 これで C_n = a_{n} - 3n とおけば C_{n+1} = 2 C_{n} - 2 ですから C_n の一般項がわかります a = 2a - 2 a = 2 を考慮して C_{n+1} - 2 = 2 (C_{n} - 2) ですので B_n = C_{n} -2 とおけば B_{n+1} = 2 B_{n} B_{n} = C_{n} -2 = a_{n} - 3n - 2 です. こういう計算を背後で処理して 問題の誘導が表にでてきているのでしょう. 以上の仕組みを逆手にとれば a_{n+1} = A a_{n} + Bn + C というタイプの漸化式は同様に以下のようにとけます. a_{n+1} - kB(n+1) = Aa_{n} + Bn + C -kB(n+1) = Aa_[n} -kABn + C -kB(n+1) + kABn = A(a_[n} - kBn) + (kA - k + 1)Bn - kB + C nの係数が0になるように k を決定すれば B_n = a_{n} - kBn とおくことで B_{n+1} = A B_n + (定数) の形の漸化式になって,これはふつうにとけます. 一般の a_{n+1} = A a_{n} + f(n) の形の場合は,当然 f(n) がどういうものかで変わってきますが, いろいろ考えてみると面白いかもしれません. f(n)がnの多項式くらいなら 解けるのかもしれません.

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  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

a[n+1] = a[n]・c + f(n) というタイプの漸化式の場合、 初項は無視して、何かひとつ g(n+1) = g(n)・c + f(n) となる g( ) を見つければ、 辺々引き算して a[n+1] - g(n+1) = { a[n] - g(n) }・c となります。 g( ) を探す時点で、a[1] = g(1) である必要はありません。 a[n] - g(n) が等比数列と判って a[n] - g(n) = { a[1] - g(1) }・c^(n-1) と解けるので、 これに a[1] の値を代入すれば完了です。 このようなやりかたを、「特殊解を用いて非斉次漸化式を 斉次化する」と言います。 たまたまというか、ひらめきによって g( ) を発見しなくては ならないので、いつでも使えるとは限りませんが、 g( ) を思いついたときには、便利に使うことができます。 質問の誘導は、g(n) = 3n+2 が使えるよ …と教えているのです。

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  • 回答No.1
  • nag0720
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A(n+1)=2An-3n+1 このような問題は、階差数列を求めて解くのが一般的です。 Bn=A(n+1)-An と置けば、 B(n+1)=A(n+2)-A(n+1) =2A(n+1)-3(n+1)+1-(2An-3n+1) =2A(n+1)-2An-3 =2Bn-3 さらに、 Cn=B(n+1)-Bn と置けば、 C(n+1)=B(n+2)-B(n+1) =2B(n+1)-3-(2Bn-3) =2B(n+1)-2Bn =2Cn これで等比数列になりました。 CnをAnで表すと、 Cn=B(n+1)-Bn =A(n+2)-A(n+1)-A(n+1)+An =2A(n+1)-3(n+1)+1-2A(n+1)+An =An-3n-2 となって、質問の式が出てきます。

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