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漸化式の問題を行列及びベクトルで解くには?

社会人ですが、趣味で数学検定に挑戦しようと思う者です。 私の高校時代の数学の先生は、「数列をベクトル解析で解いていた」と 仰有っていました。 では、具体的にどのようにすれば解けるのでしょうか。 以下の漸化式で一般項のご教授願います。 問題1) a(1)=2、a(n+1)=3a(n)+1、の一般項を求めよ 解答1) a(n)=1/2n-1 問題2) na(n+1)=(n+2)a(n)、の一般項を求めよ 解答2) a(n)=n(n+1)/2 どうぞよろしくお願いします。

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  • zk43
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問題2も、あえてベクトル風に表すと、 (a(n+1),a(n))=A(n)(a(n),a(n-1)) ((a(n+1),a(n))は縦ベクトルの意味) ここに、A(n)は2次の正方行列で、 (n+2)/n,0 1,0 (a(n+1),a(n))=A(n)(a(n),a(n-1))=A(n)A(n-1)(a(n-1),a(n-2)) =・・・=A(n)A(n-1)…A(2)(a(2),a(1)) となって、A(n)A(n-1)…A(2)は簡単に計算できるので、a(n)も 求まります。 しかし、これは a(n+1)=(n+2)/n・a(n)=(n+2)/n・(n+1)/(n-1)・a(n-1)=・・・ とやっているのと本質的に同じです。 ベクトル風にやるのは、 a(n+1)=αa(n)+βb(n) b(n+1)=γa(n)+δb(n) のような、連立の漸化式の時とか、 a(n+2)=αa(n+1)+βa(n) のようなとき、 a(n+1)=αa(n)+βa(n-1) も使ってベクトルで表わし、行列のn乗が簡単に求まる場合は有効と 思います。 しかし、何が何でもベクトルを使ってやるのではなく、漸化式の 特徴を見極めて、なるべく簡単な方法で解くのが良いと思います。 もちろん、等差数列とか、等比数列とか基本的なものは覚えてお くほうが良いと思いますが。 先生が何でそんなことを言ったのか、意図はわかりませんが、 この方法が好きだったのだと思います。解法は、個人の好みも あると思います。 数学検定というのがどんなものか知りませんが、決まった方法を 憶えておいて、それを適用して素早く計算するというのはあまり 数学的能力とは関係ないと思うのですが… 就職などに有利なのでしょうか。

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質問者からのお礼

ご回答有り難うございます。 >等差数列とか、等比数列とか基本的なものは覚えておくほうが >良いと思いますが。 やはり高校数学は暗記教科でしょうかね? ラプラス変換や、テイラー展開、ロピタルの定理などを用いて 「暗記しない数学」をしたかったのですが、どうも甘かったようですね。 >就職などに有利なのでしょうか。 薬剤師です。あまり関係ないですね。 解決しました。深謝!

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>私の高校時代の数学の先生は、「数列をベクトル解析で解いていた」と ベクトル解析ってのは,ベクトル値関数の微積分みたいなもので 電磁気やら量子論とかにでもでてくる数学の分野で, 数列のような離散的なものではほとんど意味がないというか。。。 数値計算とかが絡めばもちろん離散化するでしょうが・・ 閑話休題: 一般にベクトルを使えるケースは, 定数係数かつ線型な場合です.いわゆる y=ax (aは定数)のような タイプです. そして,それ以外の場合,例えば y=ax+b (a,bは定数)のようなタイプは変数を増やして 強引に y=ax の形式に変換することが多いです. 例えば,y=ax+bなら w=0x+1w y=ax+bw みたいな感じです w 0 1 x ( )= ( ) ( ) y a b w 本題. a(1)=2、a(n+1)=3a(n)+1、ならば b(n+1)=b(n), b(1)=1のような数列をでっちあげて a(n+1) = 3 a(n) + 1 b(n) b(n+1) = 0 a(n) + 1 b(n) という連立の漸化式にして 行列Aを 3 1 0 1 として(ここで,b(n+1)の式を下にしたのは 上三角行列の方が,少なくても私にとっては, 計算しやすいからで本質ではありません), A^n を求めることで計算します. A^nはすぐ計算できて 3^n (3^n-1)/2 0 1 よって (a(n) b(n))^T = A^{n-1} (a(1) b(1))^T 3^{n-1} (3^{n-1}-1)/2 2 =( ) ( ) 0 1 1 よって, a(n)=(5・3^{n-1} -1)/2 です. 質問者さんの解は間違いです. また,このように行列とベクトルを用いてといても A^nの計算が一般には厄介なので素直に 普通の解法で正確に解ける方が大事です. >問題2) >na(n+1)=(n+2)a(n)、 初項がないので,とけません たぶん a(1)=1でしょうが. a(1)=1なら質問者さんの解は正解です ただし,これは明らかにベクトルで解くものではありません. 定数係数でも線型でもないですし 線型に変形するにも, (私が思いつく範囲では)妙な手を使う上に それを使っても結局, その妙な手を使わないで解くのとほとんど同じですし, わざわざベクトルを使うと問題1)のように 却って煩雑になります. この問題は,素直に,a(2)a(3)を順番に計算すればわかりますし そうでなければ逆にa(n)からどんどん下に向かって 降下していけばよいでしょう. 数列の漸化式には統一的な解法は存在しません. 何でもかんでもベクトルで解けるなんてことはありませんし, かといって,ベクトルで解くと楽なケースもあったり, 型にはまった定型的なものがあったり, 帰納法で証明するのが楽なものがあったりです

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質問者からのお礼

有り難うございます >数列の漸化式には統一的な解法は存在しません. >何でもかんでもベクトルで解けるなんてことはありませんし, >かといって,ベクトルで解くと楽なケースもあったり, >型にはまった定型的なものがあったり, >帰納法で証明するのが楽なものがあったりです 漸化式は処理方法を覚えていないと解けない問題が多いような 気がします。しかし、ベクトル解析である程度それを抑えられるなら、 真剣に取り組もうと思います。

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