漸化式と極限

質問

数学IIIの範囲の問題なのですが、疑問に思ったことがありましたので質問させていただきました。
煩雑な書き方になってしまいますがご容赦ください。

問題そのものがわからないのではなく、方針というか、論証方法がよくわかりません。
ある数列が提示されていて、次のステップで解かせようとしてくるのですが、
（１）極限値αを持つとき、αの値を求めよ。
（２）（１）のαについて、|a(n+1)-α|≦2/3|a(n)-α|を示せ。
（３）lim(n→∞)a(n)=αであることを示せ。

（１）で極限値αは求まっています。（実際計算すると3でした。）
なのに、（３）でlim(n→∞)a(n)=αを示しなおさせています。
すでに求まっている値なのにまた論証させるのはなぜなのでしょうか。

抽象的な質問で申し訳ありません。
ちなみに、問題の引用もとはFocus Goldという問題集の例題１８です。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

(1)はどのようにして求めているかによります。
おそらく、特性方程式（問題の漸化式が書かれていませんが）から求めていると思います。
それはあくまでも候補にしかなりません。

ですので、(2)の不等式からはさみうちの原理を用いて、
αに収束することを示す必要があります。

似たような問題の質問を以下に記しておきます。
参考まで。
http://okwave.jp/qa/q8153502.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q8153502.html

お礼

回答ありがとうございます。

やはり（１）で求めた値は候補とか推測にしかなりえないのですね。
きちんと立証してから初めて存在しているといえる、ということですね。

参考URLもつけていただき、ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

(1) の問題文で、サラッと「極限値αを持つとき」
と言っている「とき」というのが、詳しくは、
「極限値αを持つと仮定した場合に」という意味
であることに、気づかないと。

先にαの値(の候補)を求めて、その後から
(2) を使って極限が存在することを示すのが (3)。

何だか話の順番が逆のようだが、実は、
極限が 0 である数列の収束を示すほうが
簡単なことが多いため、
a[n] が収束するかどうかを
a[n]-α が収束するかどうかに転嫁して
証明することにしたい訳。(ここが要点)

そのために、存在するかどうか未検証な
極限を、存在すると一旦仮定して、
先にαを求めてしまうということをする。

lim の計算法則には、「○○が収束する場合、
□□も収束して、その値は■■」という形
のものが多いため、極限の存在を仮定すると、
その値を特定する方法はイロイロある。

漸化式の両辺の lim をとることも、そのひとつ。

お礼

回答ありがとうございます。

確かに問題を読み込めていませんでした。注意が足りませんでしたね…。
論証の進め方として自然にするためにいったん極限値を仮定するということですか。
確かにそのほうが問題としても解き進めやすいかもしれませんね。

ありがとうございました。

回答No.4

spring135

多分、似て非なる漸化式

a(n+1)=(2/3)a(n)+1
a(1)=1

を例にとると

（１）極限値αを持つとき、αの値を求めよ。

極限ではn→∞ではa(n+1)=a(n)＝αだろうと考えられるので

漸化式に代入すると

α=(2/3)α+1

これより

α=3

（２）（１）のαについて、|a(n+1)-α|≦2/3|a(n)-α|を示せ。

漸化式を変形して

a(n+1)-3=(2/3)[a(n)-3]

つまり

|a(n+1)-α|＝2/3|a(n)-α|

不等号でなく等号が成り立ってしまうところが似て非なる所以です。

（３）lim(n→∞)a(n)=αであることを示せ。

a(n+1)-3=(2/3)[a(n)-3]=(2/3)^2[a(n-1)-3]=・・・=(2/3)^n[a(1)-3]=-2(2/3)^n

a(n)-3=-2(2/3)^(n-1)

lim(n→∞)[a(n)-α]=0

ゆえに

lim(n→∞)a(n)=α

という運びになります。

具体的にa(1),a(2),・・・・a(n),・・・a(∞)

を順次求めていったというストーリーだということです。

お礼

回答ありがとうございます。

例題であげられていた式とほとんど同じです。
無限に続く数列の初項から順に求めていったということですね。

丁寧な解説、本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#199771

私を含め、このカテゴリの回答者で「Focus Goldという問題集」を
持っている人は多分ほとんどいないような気がします。

答えたくても問題集を持っていないので質問が理解できずに
意味のある回答がつかないかもしれません。問題文を質問に
含めておくべきだったのですが、今からでも補足に付け足して
おいてください。

問題文が示されていないため確かなことは言えませんので
以下推測。

（１）は極限が存在するかどうかわからないがもし存在するなら
その値は何になるのかという問いです。

（３）は実際極限が存在してそれが（１）で示したαに一致する
ことを問うています。つまり（３）は（１）よりも情報量が多いのです。

（３）で初めて極限が存在することを示しているので、それは（１）
で聞かれていることとは異なります。

・・・多分こんな感じでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

確かにFocus Goldは非売品の問題集ですので、お持ちの方は少ないかもしれません。
√が複雑なつき方をしている問題だったので、テキスト形式では掲載困難でした。
申し訳ありません。

しかし、非常にわかりやすい解説ありがとうございます。
概ねNo.1さんと同じことということでしょうか。

ありがとうございました。

回答No.1

f272

(1)で言っているのは，極限値が存在すると仮定したらその値はいくらでなければならないかということです。存在するのかどうかは，その時点ではわからない。

お礼

回答ありがとうございます。

あるとしたら、こういう値、ということなのですね。
実際にその値があるかどうかは示すまでわからないと。

納得いたしました。
ありがとうございます。