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数列の極限
(1)lim[n→∞]a~1/n=lim[n→∞]n√aを求めよ。 ただし、a>1。a~1/nはaの1/n乗 n√aは、n乗根と思ってください。 (2)数列An{(1+2+・・・+n)/(n~2)}の極限を 求めよ。 (3)級数 1/(1・2)+1/(2・3)+・・・ +1/{n(n+1)}=Σ[n=1→∞]1/{n(n+1)}の和を求めよ 以上の3問です。 大学生なんですが、教科書読んでもよく 分からなかったので、これを解く上で必要な知識や、 ヒントなど教えてもらえませんか? あと、高校までの知識でこれ解けますか? (1)は、高校ではnじゃなくxがほとんどだった 気がするんで、なんか混乱してます。 (3)は高校の問題集に似た問題があったので、 それで良いのかなと思ったんですが・・・。 その問題集の考え方には、初項から第n項までの 部分和Snを考えて、S=lim[n→∞]Snにより求める と書いてあります。 よろしくお願いします。
- geronpa-com
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(1) n√a と a^(1/n)は同じ定義ではないのかな? Xn=a^(1/n) ならlog Xn=(1/n)log a これで n→∞ を考えれば。 (2) (1+2+・・・+n)の和の公式を使えばよい。 (3) これはとんち問題で種が判ればのたぐい。 Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+・・・+1/{n(n+1)} =(1/1)-(1/2) + (1/2)-(1/3)+ ...+(1/n)-{1/(n+1)} Sn=(1/1)-{1/(n+1)} nが偶数のとき Sn+1=(1/1)-{1/(n+1)}+1/{(n+1)(n+2)} nが奇数の時 =(1/1)-{1/(n+2)} SnとSn+1のいずれの場合も極限は同じ。
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- m234023b
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(1)に関してはlim a^(1/n)のまま考えると簡単です。 n→∞のとき1/nは0に近づきます。 (2)は分子=Σn=(1/2)n(n-1)であることはわかりますよね。 あとは分母分子n^2で割って極限をとるか、大学生ならロピタルの定理を使えばすぐに求まります。
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