極限のときの式変形について

質問

lim[n→∞](n+1)^2+(n+2)^2+……+(2n)^2/ 1^2+2^2+……+n^2
の極限を求めよという問題です。
それで解答には
(n+1)^2+(n+2)^2+・・・・・＋(2n)^2/1^2+2^2+・・・・+n^2
＝{1^2+2^2+…+(2n)^2}-(1^2+2^2+…+n^2)/1^2+2^2+・・・・+n^2
=1/6*2n(2n+1)(4n+1)-1/6n(n+1)(2n+1)/1/6n(n+1)(2n+1)

と変形しています。
たぶん最後の式変形は数列の和の公式だなーという検討はつくのですが、２行目の式が何のためにどう変形したのかが理解できません。
解説願えませんか。
どうか、よろしくおねがいいたします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>２行目の式が何のためにどう変形したのかが理解できません。
第一式の分子について
１項からの二乗和の公式を適用するために
「(n+1)項から(2n)項までの二乗和」を
「1項から(2n)項までの二乗和」－「１項からn項までの二乗和」
に変形しただけです。

そして３行目に二乗和の公式を適用し分子を
「1項から(2n)項までの二乗和」の公式　－「１項からn項までの二乗和」の公式
を適用し、また
分母もn項までの二乗和の公式を適用していますね。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
こんな僕でも理解できましたｗ
これからもいろいろな類題を解いて解けるようになりたいと思います。
また機会があればよろしくお願いいたします

回答No.1

debut

正確には
=[{1^2+2^2+…+(2n)^2}-(1^2+2^2+…+n^2)]/(1^2+2^2+・・・・+n^2)
={1/6*2n(2n+1)(4n+1)-1/6n(n+1)(2n+1)}/{1/6n(n+1)(2n+1)}
ですよね。

分母はΣk^2の公式で積の形に書けるから、分子も積の形
にできれば約分などで簡単にできる、ということで

(n+1)^2+(n+2)^2+……+(2n)^2は
　(1^2から(2n)^2までの和)－(1^2からn^2までの和)なので
　Σk^2の公式を使って積を使った式にはできる

ということでしょう。
２行目はそうしたことを示しているのでしょう。