数列の極限について

質問

数列の極限について…根本が分からず下記の二問に手付かずの状態です…。。。
解法など教えていただけたら幸いです。

(1)
lim (n+1)^2+(n+2)^2…+(2n)^2/1^2+2^2…n^2
n→∞

(2)
lim {√(n^2+2n+2)-√(n^2-2)}
n→∞

問題のみの提示で申し訳御座いません。
Σの公式で計算するのですが共に答えが無限になったり計算できなくなったりと…；；

答えは(1)が７　(2)が3/2だそうです…。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

(1)は区分求積をしろというのが見え見えですね・・・
ほとんど暗算でもできますが
分子＝(n+1)^2+(n+2)^2…+(2n)^2
　　＝(n^2){(1+1/n)^2+(1+2/n)^2+…+(1+n/n)^2}
分母＝1^2+2^2+…+n^2
　　＝(n^2){(1/n)^2+(2/n)^2+…+(n/n)^2}
なので、分子分母を(n^2)で約分して、新しく(1/n)をかけると
分子＝(1/n){(1+1/n)^2+(1+2/n)^2+…+(1+n/n)^2}
→∫(0→1)(1+x)^2dx=7/3
分母＝(1/n){(1/n)^2+(2/n)^2+…+(n/n)^2}
→∫(0→1)x^2dx=1/3
よって答えは7

(2)答えは1ですが、式の読み方が違うのかな？

お礼

（１）の解き方をここまで詳しくかいて頂きありがとうございました!!
Σで解いてはいけなかったんですね；；

(2)ですが・・・すいません；；

lim {√(n^2+2n+2)-√(n^2-【n】)}
n→∞

の誤りでした；；

回答No.2

Mr_Holland

（１）は２乗の級数の和の公式を使うと解けます。そのとき、分子は２ｎまでの２乗の和からｎまでの２乗の和にしてください。

（２）は分数と見立てて、分母分子に{√(n^2+2n+2)＋√(n^2-2)}をかけて分子を整理してください。こたえは＃１さんと同じく１になると思います。

回答No.1

koko_u

(2) は (n^2 + 2n + 2) ～ (n+1)^2 ( n -> ∞ ), n^2 - 2 ～ n^2 ( n -> ∞ ) なので 1 に収束すると思ふ。

(1) は和の公式を使ってチマチマ計算するだけ。