極限 an=n√n の求め方について

質問

lim (n→∞)an = A< +∞ならば、 lim (n→∞)(a1+a2+....+an)=Aa であるとき

an = n√nの極限値を求めよ
( aに付いているnは数列の項の番号、√nについているnはn乗根の意味です)

といった問題なのですが、どう手をつけていいかさっぱり解りません。

対数を使って計算する、と教わったのですが、どうやって対数をこの式に使えば良いのかわからないのです、どなたか解法や、解法のヒントをご存知の方がいましたら、回答お願いします、よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

a_n = n^(1/n) の n→∞ の極限を求めるなら
n > 0 なら 0 < x < y ⇔ 0 < x^n < y^n
から ε-δ という手もある. これなら (極限値のあてさえあれば) 対数すら不要.

回答No.1

kabaokaba

>lim (n→∞)an = A< +∞ならば、 lim (n→∞)(a1+a2+....+an)=Aa であるとき

これが何をいってるのかさっぱり分からん
aってなんだい？
それに級数が収束するなら，その各項は0に収束するのだから
A=0であろう．
意味が分からない・・・・

で本題

>an = n√nの極限値を求めよ
>( aに付いているnは数列の項の番号、√nについているnはn乗根の意味です)

数式の表記の仕方を学ぼう
a_n = n^(1/n)
と書くのが，普通です．
＃もしくは，a_{n} = n^{1/n} か

この極限は，
不等式 x^{1/2} > log(x)
を使うのが簡単です．これの証明は普通に引き算して微分して正負を判断すればいい

あとは，log(a_n) = (log(n))/n の極限が0であることを挟みうちで示して
結果，a_nの極限が分かるという流れ．
a_n = exp((log(x)/n) とみなして，

指数関数の連続性で(log(n))/nの極限に帰着させる
というほうが多少すっきりするかも．