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漸化式a1=c, an+1= √(an + 2)(n=1,2 ,…)によって定まる数列{an}を考える。

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(1)漸化式a1=c, an+1= √(an + 2)(n=1,2 ,…)によっ
て定まる数列{an}を考える。ただしcはc≧-2をみたす定数と
する。anを求めよ。
<解答>
極限値があるとしその値をxとおき、漸化式においてn→∞の極限をとると、
x=lim(n→∞)an+1=lim √(an + 2)=√(x+c)を得る。
x≧0でなければならないことに注意して、両辺を2乗すると
x^2-x-2=0
この2次方程式の正の実数解x=2を得る。
従って、lim(n→∞)an が存在するなら値は2でなれけばならない。

次に実際2に収束することを示す。
an+1 - 2= √(an + 2)-2
ここで、分母分子に √(an + 2)+2を掛けると
an+1 - 2=(an - 2)/ {√(an + 2)+2}
√(an + 2)+2≧2より
(an - 2)/ {√(an + 2)+2}≦ (an - 2)/ 2

はさみうちの原理より、
an - 2≦(an-1 - 2)/ 2≦(an-2 - 2)/ 2^2≦(an-3 - 2)/ 2^3≦・・・
・・・≦(a1 - 2)/ 2^(n-1)
よって、n→∞とすると。右辺→0。すなわち、an - 2→0
∴lim(n→∞)an=2

上のように解いたのですが、はさみうちの説明が不十分でしょうか?
助言をお願い致します。

回答 (全1件)

  • 回答No.1

ベストアンサー率 18% (459/2509)

>はさみうちの説明が不十分でしょうか?
「はさみうち」って位だから、絶対値をとった方がよいでしょう。
そうしないと、例えば a1 = -2 のときは a_n - 2 <= 0 になるから破綻します。
お礼コメント
mabshi

お礼率 92% (26/28)

丁寧な解答ありがとうございます。
説明不足でした。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。
投稿日時 - 2008-05-07 21:21:33
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