極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

質問

(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

回答No.3

aquarius_hiro · ベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
　n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

　a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

　a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n ＜ 1, 1/n^2 ＜ 1 なので、(3)は、

　a(n+1)/a(n) ＜ 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) ＞ 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
　a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
　a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
　lim_{n→∞} a(n) ＝ 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n＞10で、
　a(n+1)/a(n) ＜ [1 + 2/10 + 1/100]/3 ＜ 2/3
故に、n→∞ のとき、
　0 ＜ a(n) ＝ [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
　　　　　　＜ (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
　lim_{n→∞} a(n) ＝ 0
が得られる。
（別証終わり）

[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

　lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
　= lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
　[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
　(5) = 3
になります。

なお、(6)が明らかと思われない場合は、
　1 ＝ 1^{1/n} ＜ [1+(2/3)^n]^{1/n} ＜ 1+(2/3)^n → 1
（∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a ）
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

お礼

詳細なご説明誠に有難うございます。

凄いテクを使って証明するのですね。
お陰様で納得できました。

回答No.2

koko_u_

質問内容は「収束するのか発散するのか分かりません。」でしょう？
具体例を計算することで、どちらかわかりましたね。

あとはそれを証明するだけです。

お礼

有難うございます。
お陰様で参考になりました。

回答No.1

koko_u_

>n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
試しに n = 10 とか 100 を電卓などで計算するんだ。

>までいけたのですがここから先へ進めません。
同じ手法でいける

お礼

早速のレスどうも有り難うございます。

電卓で計算して
どうやら発散してるようだとか収束してるようだ
だから
発散するとか収束するとかではマルを貰えませんよね。

どのように式を変形すればいいのでしょうか?