２つ難しい！極限：lim[n→∞] (nのn乗根)

質問

(1) 表題の問題
(2) x≠0とする。数列{an}を
　　an＝cos(x/2)×cos(x/2^2)×・・・×cos(x/2^n)　
　として定めるとき，lim[n→∞] an を求めよ。

いきなり2題を書いてすみません。自分が不得意な極限の上に、どちらも式変形がうまくできず、途中で断念しました。どなたか解答をお願いできないでしょうか。どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1) ここをどうぞ。
https://m.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/q1440738964

(2)
両辺に sin(x/2^n) をかけて、2倍角の公式をn回適用すると
a_n × sin(x/2^n) = (1/2^n) × sinx
a_n = sinx / (2^n) × sin(x/2^n) -> sinx / x
でどうでしょうか。

回答No.2

ddtddtddt

(2)は、#1さんの回答が良さそう(^^)。

　(1)については、もしかするとこれだけでは駄目出しがでるかも知れないけれど、an＝n^(1/n)とおき両辺の対数をとれば、

　log(an)＝1/n×log(n)

　n→∞の時、1/n×log(n)→0なので（不安だったら、ロピタルの定理を使う）、n→∞でlog(an)→0より、n→∞でan→1。