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数列の極限について
以下のような問題で、悩んでおります。 どうか、ご教授お願いいたします。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 各自然数 n に対して、 a_n = (n ! / n^n) とおく。 このとき、次の各問に答えよ。 (1)0 < a_n ≦ 1/n (n=1,2,3,・・・)を示せ (2)数列{a_n}の極限値を求めよ ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー (1)は、n=1,2,3と順に計算してみて、明らかなことがわかったのですが、どのように記述すべきかで悩んでおります。 (2)は、lima_n の値は0と思うのですが、数列{a_n}となると、どのように計算をすればよいのか悩んでいます。 どうぞよろしくお願いします。
- math-panic
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(1)nは自然数なので“0<”の部分はいいですね。 さて、n!=n・(n-1)・・・3・2・1 ≦n・n・‥n・n・1 =n^(n-1) となります。1行目から2行目はnより小さく1より大きい数をnで置き換えたわけです。ちなみに等号成立はn=1の時です。 ということは、n^(n-1)>0 より、 n!/[n^(n-1)]≦ 1 ⇔ n!/[n^n] ≦1/n となり、証明終わりです。 (2)数列{a_n}の極限値とは、lim_{n→∞}(a_n)そのものです。 (1)は(2)のヒントですから、あとは「はさみうち」で答えは0です。 久しぶりに高校数学をやりましたが、万が一、間違い等あれば、他の方、訂正願います。
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- gatch_ky
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だいたいこんな感じ。 n>=2のとき (n ! / n^n) = (1/n)*(2/n)*(3/n)*****(n/n) <= (1/n)*(n/n)*(n/n)*****(n/n)=1/n (2)は0でいいんだよ。1/n →0だから。
お礼
よくわかりました。ご回答ありがとうございました。
- koko_u_
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>明らかなことがわかったのですが、どのように記述すべきかで悩んでおります。 それを一般の n について述べれば良いだけです。 >数列{a_n}となると、どのように計算をすればよいのか悩んでいます。 lim_{n->∞} a_n を求めろということです。
お礼
ご回答ありがとうございました。
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お礼
大変ご丁寧に解説していただき、よくわかりました。 ご回答ありがとうございました。