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数列の問題
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No3です 6行目を間違えました。 すなわち 0<ak≦1/k から 0<k!<k^k ・・・・・・(1) とありますが 0<ak≦1/k から 0<k!<k^(k-1) ・・・・・・(1) でした。 混乱させてしまいました。申し訳ありません。
その他の回答 (6)
- einart
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この問題はとても面白い! 数式ではその面白さは分かりませんがイメージに起こしてみると 区間[0,1]をn等分してそれぞれを掛け合わせる ことと同じになります。それを踏まえてしっかりと考えを充実させていただけたら幸いです。
- Aai22112
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#2の訂正です (1)nは自然数だから0<anはいいとして an<1/nは an=(n/n)×((n-1)/n)×(n-2)/n)×…×(2/n)×(1/n)とやって吟味する (n/n)×((n-1)/n)(n-2)/n)×…×(2/n)は1より小さい数ですから…
かなり違反気味ですが、次のような手もあります。 n ! n(n-1)(n-2)・・・2・1 an=――― =――――――――――― n^n n・n・n・・・・n・n =1・(1-1/n)(1-2/n)・・・(1-2/n)・1/n なので、n→∞のとき、 lim 1・(1-1/n)(1-2/n)・・・(1-2/n) = e lim 1/n = 0 であることから、 lim an = e×0 =0
- fukuda-h
- ベストアンサー率47% (91/193)
(1)証明問題ですね。また、問題に(n=1,2,3…)とあるので数学的帰納法ではないでしょうか 問題の「示せ」を「証明せよ」と解釈してしまいましょう よくあるんですこのタイプ。自然数に関する命題の証明は数学的帰納法が長いですが、確実だと思います。 n=1のとき an=1から成り立つ n=kのとき 成り立つことを仮定する すなわち 0<ak≦1/k から 0<k!<k^k ・・・・・・(1) 1/(k+1)-(k+1)!/(k+1)^(k+1) ={(k+1)^(k)-(k+1)!}/(k+1)^(k+1) ここで(分子)=(k+1){(k+1)^(k-1)-(k)!} ≧(k+1){(k)^(k-1)-(k)!} (1)より ≧0 1/(k+1)≧(k+1)!/(k+1)^(k+1)≧0 が成り立つ よってn=k+1のときも成り立つ 以上から数学的帰納法により でしょう 長いですが 自然数についての命題の証明は数学的帰納法でしょうね (2)はn→∞のとき 1/n→0 はさみうちの原理によりですね
- Aai22112
- ベストアンサー率0% (0/7)
(1)nは自然数だから0<anはいいとして an<1/nは an=(n/n)×(n-1/n)×(n-2/n)×…×(1/n)とやって吟味する
- gururinbus
- ベストアンサー率53% (8/15)
手がかりでよいということなので (1)1/n=(n^(n-1))/(n^(n))に式変形して分子を比較する。 (2) (1)をつかってはさみうちの原理。
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