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極限の問題がわかりません

途中過程も教えてくれるとありがたいです。 無限級数1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+…+n/2^n+…について次の問いに答えよ。 (1)初項から第n項までの部分和Snをnの式で表せ (2)この無限級数の和を求めよ。ただし、lim(n→∞)n/2^n=0である 回答よろしくお願いします。

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1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+…+n/2^n+… (1)初項から第n項までの部分和Snをnの式で表せ Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+…+n/2^n …(A) (1/2)Sn=1/2^2+2/2^3+3/2^4+4/2^5+…+(n-1)/2^n+n/2^(n+1) …(B) (A)-(B)より (1/2)Sn=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+…+1/2^n-n/2^(n+1) =(1/2)(1-(1/2)^n)/(1-(1/2)) -n/2^(n+1) =1-(1/2)^n -n/2^(n+1) =1-1/2^n -n/2^(n+1) =1-[(2+n)/2^(n+1)] …(答) (2)この無限級数の和を求めよ。 ただし、lim(n→∞)n/2^n=0である S=lim(n→∞)Sn=lim(n→∞) {1-[(2+n)/2^(n+1)] } =lim(n→∞) {1-1/2^(n+1)-[(1+n)/2^(n+1)] } =lim(n→∞) {1-1/2^(n+1)} - lim(n→∞)[(1+n)/2^(n+1)] lim(n→∞)n/2^n=0であるからlim(n→∞)[(1+n)/2^(n+1)] =0なので S= 1 -0 -0 = 1 …(答)

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