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幾何学の問題が分かりません。

幾何学の問題が分かりません。 何冊も参考書を見たのですが・・。 お手数ですが、ご回答いただけると助かります。 自然数の集合Nから実数の集合Rへの関数f:N→Rに対して、自然数nの像f(n)をanとする。 a1、a2、・・an、、an+1・・、 を数列といい、{an}で表す。 Q.次の問いについて、真であるものは証明を、偽であるものは反例を挙げよ。 (1)数列{an}の部分列{a2n}、{a2n-1}が同じ極限値に収束すれば、{an}も収束する。 (2)数列{an}の部分列{a2n}、{a3n}が同じ極限値に収束すれば、{an}も収束する。

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  • 回答No.3

追記 (1) |a(2n) - a| < ε, ∀n > N(ε) ⇔ |a(m) - a| < ε, ∀m > 2N(ε), m 偶数 |a(2n-1) - a| < ε, ∀n > M(ε) ⇔ |a(m) - a| < ε, ∀m + 1 > 2M(ε), m 奇数 ⇒ |a(m) - a| < ε, ∀m > 2M(ε), m 奇数 したがって、L(ε) = 2 max{N(ε),M(ε)}とすると n > L となる偶数と奇数、つまり正数は |a(n) - a| < ε を満たす (2) 問題をよく読んでね。 a(2n) と a(3n)が同じ値に収束しないとならないから、(-1)^n は不適。 >>a(2n) = 1, a(3n) = 1 ,a(他) = 0 >>となるa(n)はどのような式になるのでしょうか?  どういうことかな?  具体的にa(n)を定義してあるのだけど。 a(n) = n が 2 または 3 の倍数のとき 1 n が その他の場合は 0 という数列。 a(2n) = 1 だから lim a(2n) = 1 a(3n) = 1 だから lim a(3n) = 1 liminf a(n) = 0, limsup a(n) = 1 だから a(n) は収束しない

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質問者からのお礼

有難うございます。 もう一度、参考書とともに照らし合わせて、勉強してみます。 もう一問あるのですが、これを参考に考えてみて、分からなければ別で質問しますので、これは一度、締め切りに致します。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4

#2です。 >Anti-Giantsさんと同じ答えになるということですね。 そうですね。^^ (2)ですが、2も 3も素数ってところを使うと、 a(5n)や a(7n)などが、a(2n)と a(3n)とは違う値に収束すれば反例になります。

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質問者からのお礼

これを参考に、考えてみます。 ご親切に有難うございました。

  • 回答No.2

こんにちわ。 幾何学?解析学ではないですか・・・? 高校数学の「数列の極限」でもでてきそうな内容ですね。 で、「一様収束」するかどうかということを調べればいいので。 (1) { a(2n) }, { a(2n-1) }は、すべての項を網羅できるか? (2) 同様に、{ a(2n) }, { a(3n) }は、すべての項を網羅できるか? どうも (2)は網羅できそうにないですよね。 高校数学では、下記のような問題として出題されます。 http://okwave.jp/qa/q6083128.html

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質問者からのお礼

Anti-Giantsさんと同じ答えになるということですね。 有難うございます。

  • 回答No.1

どの辺が幾何学なのか・・・ (1) 真 同じ極限値を a とする |a(2n) - a| < ε, ∀n > N(ε) |a(2n-1) - a| < ε, ∀n > M(ε) だから |a(n) - a| < ε, ∀n > L(ε) = 2 max{N(ε),M(ε)} (2) 偽 a(2n) = 1 a(3n) = 1 a(他) = 0

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質問者からのお礼

ご回答有難うございます。 (1)ですか、 a(2n) - a| < ε, ∀n > N(ε) |a(2n-1) - a| < ε, ∀n > M(ε) だと、何故 |a(n) - a| < ε となるのでしょう? (2)は 例えば、 an=(-1)^n とすると a(2n) = 1 a(3n) = 収束しない となると思うのですが、 a(2n) = 1 a(3n) = 1 a(他) = 0 となる an= はどのような式になるのでしょうか? 理解不足でお手数かけます。

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