級数 C^n級 C^∞級 疑問
- C^n級とC^∞級の違いや級数の性質についての疑問を持っています。
- 剰余項についての理解や級数展開の打ち切り点について疑問を抱いています。
- C^1級関数の例として、y=|x|^2が適切かどうかについての疑問を持っています。
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級数
級数 C^n級 C^∞級 疑問 C^n級とは、n階微分可能な関数を意味すると認識しています。 C^∞級とは、n階以上微分可能な関数のことを指して言うのでしょうか？ C^n級とC^∞級の違いはなんでしょうか？ 剰余項について、 e^x=Σ[n=0～∞]（（x^n）/（n!））→A e^x=1+x+（1/2!）x^2+・・・+（1/n!）x^n+R(n+1)→B AとBが等価なのが理解できません。 AはΣの範囲が∞です。Bは任意の自然数nです。 Bは任意の自然数nまで級数展開して、それ以降を剰余項で表しています。 Bは無限級数展開可能であるのに、n+1で打ち切っているのが理解出来ない点です。 C^1級関数の例として、y=|x|^2は適切でしょうか？ y=|x|はx=0で微分可能でありません。 つまり、y=|x|はC^0級だと認識しています。 そこで、y=|x|^2はx=0で一階微分できるので、C^1級と考えました。 この考えはおかしいでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m
- RY0U
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＞ C2 ⊂ C3 ⊂ C4 ⊂ … ＞ C4はC3を含む，C3はC2を含む… ＞ ではないですか？ ３階連続的微分可能な関数は、２階連続的微分可能でもあります。 ３回微分できるためには、２回微分できてないと駄目ですからね。 つまり、f∈C3 ⇒ f∈C2 です。逆は、成立つとは限りません。 それって、C3 ⊂ C2 ってことですよね。 たくさん微分できるほうが、条件がきつく、集合は小さいのです。 そこ、ひっかかる場所ですか？
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- alice_44
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A No.4 は無視して再質問するってことですかね。 そいつは残念。
- alice_44
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三点め: ｜x｜の2乗 は、実関数としては、xの2乗 と同じですから、 C1級でもありますが、更にC∞級でもあります。 C1とC∞の関係については、一点めで書いたとおりです。 ｜x｜の2乗 を複素関数と見る場合には、 x=0 で一回も微分できませんから、 C0級(連続関数)ということになります。
- alice_44
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二点め: A と B が同じになるのは、lim[n→∞]R(n+1) = 0 だからです。 なぜかって？ そうなる場合だけ、関数が巾級数展開可能だからです。 limR(n+1) = 0 となる係数列が無ければ、巾級数展開不能で、 A が収束しないだけです。そのような関数もあります。 B を有限項で打ち切っていることについては、 打ち切ったことで生じた誤差こそが、剰余項なのです。 それが 0 に収束しなければならないということ。 巾級数に限らず、級数の和を考えるときには、 部分和の極限を考えるものでしたね？
- alice_44
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一点め: C2級は、(少なくとも)2回微分できて、2階導関数が連続、 C3級は、(少なくとも)3回微分できて、3階導関数が連続、 Cn級は、(少なくとも)n回微分できて、n階導関数が連続です。 C2 ⊃ C3 ⊃ C4 ⊃ … なので、 「n回微分できて」というより、「n回以上微分できて」が正しい。 それに対し、C∞級は、何回でも微分できて、各階導関数が連続です。 ∞階導関数というものが存在する訳ではありませんから、 「何回でも」というところがミソです。
補足
ご回答ありがとうございます。 巾級数展開可能の場合に同じになるのですね。 つまり、剰余項R(n+1)がlim[n→∞]R(n+1) = 0になれば、 e^x=Σ[n=0～∞]（（x^n）/（n!））と表せるのですね。 Rは実際（1/（(n+1)！））なので、0に収束すると理解できます。 よって、e^xは巾級数展開可能であると理解したのですが、e^xの場合lim[n→∞]R(n+1) における Rはどのように計算(評価)されるのでしょうか？ 剰余項に関して、 R(n+1)やR(x^(n+1))などと表記されるようですが、なにか 違いはありますか？ C2 ⊃ C3 ⊃ C4 ⊃ …について、 C2はC3を含む，C3はC4を含む… と理解したのですが、 C2 ⊂ C3 ⊂ C4 ⊂ … C4はC3を含む，C3はC2を含む… ではないですか？ お手数をお掛けしますが、何卒ご回答よろしくお願い致します。 ご回答のおかげでなんとなくですが理解できてきました。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
参考URLに詳しく載っていますのでお読み下さい。 要するに(n+1)項以降が余剰項（表現法は色々存在する）で置き帰られることについては マクローリンの定理とマクローリン級数展開の関係でしょう（テーラーの定理とテーラー級数展開の関係も同様）。
補足
ご回答ありがとうございます。 URL読んで見ました。 C^∞級を無限階微分可能と書いてありますが、 これは正しい主張ですか？ 前回頂いた回答では、無限階微分なんてと 指摘されました・・・
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
え? 「C^n級とは、n階微分可能な関数を意味すると認識しています。」 がすでに間違ってる. 条件が足りない. まあ「C^∞級とは、n階以上微分可能な関数のことを指して言うのでしょうか？」という疑問も無意味だけどね. いったいどこから「n」が出てきたのか.
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