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べき級数で解く微分方程式

次の微分方程式の解を 式(5.1) = y(x) = Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) のべき級数を用いて求めよ。 x (dy/dx) - y = x^k     (ただし、kは1以外の自然数) 解答 y を式(5.1)のべき級数で展開し、微分方程式に代入して係数a_iについての関係式を求める。 (1) べき級数展開から次の式を得る。      x Σ[i=0,∞] (i+1)( a_[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) = x^k xの次数ごとに両辺の係数を比較すると、n≠kなるnについて (n-1)a_[n] = 0 となる。 ←疑問点 n≠1 (n≠k) に対して a_[n] = 0 であり、(k-1) * a_[k] = 1より y = 1/(k-1) * x^k を得る。 n=1に対しては、a_[n] = a_[1] ≠ 0でも(n-1) * a_[n] = 0となる。 実際、y = 1/(k-1) * x^k + ax (aは任意の定数) が微分方程式の解となる。 ・・・と本に書いてありますが、「疑問点」のところの比較の方法が分かりません。 まず、i が 0 から n まで変化する過程を自分で計算してみました。 i=0: x * (0+1) a_[0+1] * x^0 - a_[0] * x^0 = a_[1] * x - a_[0] i=1: x * (1+1) a_[1+1] * x^1 - a_[1] * x^1 = 2a_[2] * x^2 - a_[1] * x i=2: x * (2+1) a_[2+1] * x^2 - a_[2] * x^2 = 3a_[3] * x^3 - a_[2] * x^2 : i=n: x * (n+1) a_[n+1] * x^n - a_[n] * x^n = (n+1) a_[n+1] * x^(n+1) - a_[n] * x^n これらを使って「xの次数ごとに両辺の係数を比較する」んですよね。 しかし左辺だけでも、xの次数が1つずつズレていますよね・・・? これらと x^k を具体的にどうやって比較するのでしょうか? x^2ならx^2だけでまとめるんですか? それともx^3とx^2が混ざった形で比較するのですか(どうやってやるのか分かりませんけども)? どうか教えてください。お願いします。

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ANo.1です.お礼について. (☆)x^k=-a_0+Σ[i=1,∞](i-1)a_ix^i >ここまでギリギリ理解できました。 >3. (i-1)a_i=1(i=k) (i=1,2,・・・) >3. はi=k=3だとすると、2a_[3] * x^3 = (1) * x^3 ・・・なので、2a_[3] = 1 ですね・・・あれ? >これは a_[3] = 1/2 になりませんか? それでいいのですよ.k=3の場合の解 y=a_1x+x^k/(k-1) は y=a_1x+x^3/2 であり,a[3]=1/2ですよ. >ただ、任意の定数 a_1 と x を掛け合わせたものを足す理由が分かってないです、すみません・・・。これも教えていただけませんか?お願いします。 ☆をよーく見て下さい.x^kのべき級数展開が右辺ですよね.ところがx^kはすでにべき級数展開されているのです.つまり x^k=0+0x+0x^2+・・・+0x^{k-1}+1x^k+0x^{k+1}+・・・(1) これはx_kの係数だけ1で後はすべて0です.一方☆の右辺は具体的に -a_0+Σ[i=1,∞](i-1)a_ix^i =-a_0+(1-1)a_1x+(2-1)a_2x^2+・・・+(k-2)a_{k-1}x^{k-1}+(k-1)a_kx^k+ka_{k+1}x^{k+1}+・・・(2) (1)と(2)のxのべきの係数を比べると,xの係数以外では, a_0=0,a_2=0,・・・,a_{k-1}=0,a_k=1/(k-1),a_{k+1}=0,・・・ のようにx^kの係数のみ0でないです.xの係数はどうなっているかというと (1)→0=0a_1←(2) となっています.これはa_1がなんでもよいことを示します.だからa_1は0でない可能性があるので残すわけです.もちろん残るのはべき級数解 y=Σ[i=1,∞]a_ix^i においてa_k=1/(k-1)とともに残るのですよ.

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質問者からのお礼

お礼が遅くなりました。すみません。 > k=3の場合の解 > y=a_1x+x^k/(k-1) > は > y=a_1x+x^3/2 > であり,a[3]=1/2ですよ. ありがとうございます。よく見たら合っていましたね。何故かa[3]=1にならないといけないと思い込んでいました。 > (1)→0=0a_1←(2) なるほど、x^kの係数だけ1になってるのが曲者ですね。なぜaだけじゃなくてa_1と書くのか分かりました。0を掛けて0になる数字なんで100でも1京でもいいんですよね。 分かりやすい説明でした。 ありがとうございました!

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  • 回答No.1

文字を複数使うと(i,nなど)混乱するのでiで通します. さらに番号の付け替えをして整理します. xΣ[i=0,∞] (i+1)a_{i+1}x^i-Σ[i=0,∞] a_ix^i=x^k ⇔Σ[i=0,∞] (i+1)a_{i+1}x^{i+1}-Σ[i=0,∞] a_ix^i=x^k←最初のΣの中にxを取り込みました. ⇔Σ[i=1,∞]ia_ix^i-Σ[i=0,∞] a_ix^i=x^k←最初のΣで番号を付け替えました.(i+1→i) ⇔x^k=-a_0+Σ[i=1,∞](i-1)a_ix^i←和をまとめて整理しました. よって, ・-a_0=0 ・(i-1)a_i=0(i≠k),(i-1)a_i=1(i=k)(i=1,2,・・・) これを解くと, a_1:任意,a_k=1/(k-1),その他のiについてa_i=0 つまり, y=a_1x+x^k/(k-1) となります.

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 > ⇔Σ[i=1,∞]ia_ix^i-Σ[i=0,∞] a_ix^i=x^k←最初のΣで番号を付け替えました.(i+1→i) > ⇔x^k=-a_0+Σ[i=1,∞](i-1)a_ix^i←和をまとめて整理しました. ここまでギリギリ理解できました。自分の場合、 -Σ[i=0,∞] a_ix^i + Σ[i=1,∞]ia_ix^i = x^k と項の順番を変えてみたら理解しやすくなりました。 一つ一つ係数を比較していくと、 -a_[0] = -a_[0] -a_[1] * x^1 + a_[1] * x^1 = 0 -a_[2] * x^2 + 2a_[2] * x^2 = a_[2] * x^2 -a_[3] * x^3 + 3a_[3] * x^3 = 2a_[3] * x^3      : ・・・確かに、=-a_0 + Σ[i=1,∞] (i-1)a_i * x^i になっていますね。 その次ですが、 > 1. -a_0=0 > 2. (i-1)a_i=0(i≠k), > 3. (i-1)a_i=1(i=k) (i=1,2,・・・) 1. は明らかですね。 2. はk=3のときにi=2だったとして考えました。 すると、右辺のx^2の係数が0なので、a_[2] = 0ですね。 3. はi=k=3だとすると、 2a_[3] * x^3 = (1) * x^3 ・・・なので、2a_[3] = 1 ですね・・・あれ? これは a_[3] = 1/2 になりませんか? もしかして、上の私の計算がやはり間違っているのでしょうか? あと、a_k = 1/(k-1) は (i-1)a_i = 1 ⇔a_i = 1/(i-1) の i を k に置き換えたのですね。 それが x^k の係数になるのは分かりました。 ただ、任意の定数 a_1 と x を掛け合わせたものを足す理由が分かってないです、すみません・・・。これも教えていただけませんか?お願いします。

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