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微分方程式の級数解 a[0] * x^n

微分方程式      (d^2 y)/(dx^2) + (1/x) (dy/dx) - (n^2/x^2) y = 0   (x>0) の級数解を、次の問いに従って求めよ。 ただし、n>0とする。 (1) 級数解を      y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i とおいたとき、指数cはどのように求まるか。ただし、a[0] ≠ 0であるとする。 解答 級数解を      y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i とおいて、項別に微分すると      dy/dx = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(i-1)      (d^2 y)/(dx^2) = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2) これを微分方程式に代入して      x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)       + (1/x) * x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(i-1)        + (n^2/x^2) * x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i = 0      x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)       + x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(i-2)        + n^2 * x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^(i-2) = 0      x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)(c+i-1) + (c+i) - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0      x^c * Σ[i=0,∞] [ (c+i) { (c+i-1) + 1} - n^2 ] a[i] * x^(i-2) = 0      x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)(c+i-1+1) - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0      x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)(c+i) - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0      x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0 x^(c-2)の係数について      (c^2 - n^2)a[0] = 0 でなければならない。 したがって、a[0] ≠ 0の条件から      c^2 = n^2      c = ±n と定まる。 (2) 一般解を級数解で求めよ。 解答 x^(i+c-2) (i=1,2,3,...)の係数について      { (c+i)^2 - n^2 } = 0 でなければならない。 c=nのとき、      { (c+i)^2 - n^2 } = (n+i)^2 - n^2                = 2ni + i^2 ≠ 0 であるから、a[i] = 0 (i=1,2,3,...)となる。 すなわち、これに対応する解は      a[0] * x^n     ←これが分かりません ・・・とまだまだ続くのですが、a[0] * x^nになる理由が分かりません。 自分で考えてみますと、      Σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] * x^(i+c-2) = 0 で、(i=1,2,3,...)はすべてa[i] = 0になると言ってるのだから、残るはi=0のみ。 i=0:      { (c+0)^2 - n^2 } a[0] * x^(0+c-2) = 0      { c^2 - n^2 } a[0] * x^(c-2) = 0 しかも、c=nなので      { n^2 - n^2 } a[0] * x^(n-2) = 0      { 0 } a[0] * x^(n-2) = 0 ・・・x^(n-2)の係数について係数は0という結果になりました。これでいいんですか??? たとえ、{ (c+i)^2 - n^2 } = 2ni + i^2としても、i=0なので0ですよね? このa[0] * x^nはどうやって導いたのでしょうか? 教えてください。お願いします。

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  • alice_44
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模範解答で、y = x^c Σ[i=0,∞] a[i] x^i が y'' + (1/x)y' - (n^2/x^2)y = 0 の解であるために、 c = n と a[i] = 0 (i=1,2,3,…) が必要であること を導いたところまでは解ったのですね? 後は、十分性を確認すればよい。 質問文の「自分で考えてみますと」の部分のように計算すると、 c = n と a[i] = 0 (i=1,2,3,…) でさえあれば、a[0] の値には依らず、 Σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] x^(i+c-2) = 0 が成立する ことが判ります。 { 0 } a[0] x^(n-2) = 0 は、a[0] の値が何であっても成立しますからね。 これにより、c = n かつ a[i] = 0 (i=1,2,3,…) であることが、 y = x^c Σ[i=0,∞] a[i] x^i が微分方程式の解になる必要十分条件と判り、 c と a[i] (i=1,2,3,…) を代入して、 解は y = x^n Σ[i=0だけ] a[i] x^i = a[0] x^n と書ける ことが解るのです。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 > c = n と a[i] = 0 (i=1,2,3,…) でさえあれば、a[0] の値には依らず、 > Σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] x^(i+c-2) = 0 が成立することが判ります。 > { 0 } a[0] x^(n-2) = 0 は、a[0] の値が何であっても成立しますからね。 ああ、確かに!気付きませんでした。 > これにより、c = n かつ a[i] = 0 (i=1,2,3,…) であることが、 > y = x^c Σ[i=0,∞] a[i] x^i が微分方程式の解になる必要十分条件と判り、 c と a[i] (i=1,2,3,…) を代入して、 > 解は y = x^n Σ[i=0だけ] a[i] x^i = a[0] x^n と書けることが解るのです。 なるほど、必要十分条件を確認してから、最初の      y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i に代入するんですね(級数解をこうおいたことすら忘れていました)。 流れるような分かりやすい説明でした。 ありがとうございました!

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

「(i=1,2,3,...)はすべてa[i] = 0になると言ってるだから、残るはi=0のみ」と書いていますが, 「(i=1,2,3,...)はすべてa[i] = 0になる」ということがどうしてわかったのですか?

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質問者からのお礼

> 「(i=1,2,3,...)はすべてa[i] = 0になる」ということがどうしてわかったのですか? ↓この部分です分かりました: -------------------------------------------------- x^(i+c-2) (i=1,2,3,...)の係数について      { (c+i)^2 - n^2 } = 0 でなければならない。 c=nのとき、      { (c+i)^2 - n^2 } = (n+i)^2 - n^2                = 2ni + i^2 ≠ 0 であるから、a[i] = 0 (i=1,2,3,...)となる。 -------------------------------------------------- (i=1,2,3,...)という前提では、nがどんな数字であろうと、2ni + i^2は0にはなれません(特にi^2がありますので)。 ですから、a[i]が代わりに0になってあげる必要があります。 それとこの問題の答えと何か係わりがあるのでしょうか? もし、それがヒントだとしたら、まだ気付けてないです。 できればズバッと解答をください。お願いします。

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