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微分方程式の級数解

次の微分方程式の解を 式(5.1) = y(x) = Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) のべき級数を用いて求めよ。      x^2 * (dy/dx) - y = x^2 解答 べき級数展開から次の式を得る。      x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = x^2 xの次数ごとに両辺の係数を比較すると、      a[0] = 0      a[1] = 0      a[2] = -1      a[n] = (n-1) a[n-1]     (n>=3) なる関係式を得る。これより、n>=3について      a[n] = (n-1) ! * a[2] = -(n-1) ! となる。したがって、微分方程式の級数解として      y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i     ←この式の求め方が分かりません を得る。 ・・・と本に書いてありますが、      y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i の求め方が分かりません。 a[n] = -(n-1) !まで分かっているので、後は代入するだけだと思っていたのですが、やってみると答えが合いません。例えば、      x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = x^2 に      a[n] = -(n-1) !      a[i] = -(i-1) !      a[i-1] = -(i-2) !      a[i+1] = -i ! など各種取り揃えておいて代入すると      x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = x^2      x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( -i ! * x^i ) - Σ[i=0,∞] { -(i-1) ! * x^i } = x^2 (i+1)i ! = (i+1) ! と考えれば      x^2 * Σ[i=0,∞] -(i+1) ! * x^i + Σ[i=0,∞] (i-1) ! * x^i = x^2      -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i + Σ[i=0,∞] (i-1) ! * x^i = x^2 この前半の項が奇しくもこの本の答え      y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i と同じになります。 ということは、この後半の項はゼロになるべきということですか?でも、ならないですよね? それとも私の計算が間違っているのでしょうか? どうか正しい解き方を教えてください。お願いします。

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本のanの結果が正しいならば、次の様に単純に考えればよいでしょう。 y(x) = Σ[i=0,∞](a[i]*x^i)     (1) a[0] = 0 a[1] = 0 a[2] = -1 a[i] = -(i-1) ! (i>=3) (2) (1)式を具体的に書いてみると y(x) = a[0]*x^0+a[1]*x^1+a[2]*x^2+a[3]*x^3+a[4]*x^4+・・・・ これに(2)式を代入すると y(x) = -1*x^2-2!*x^3-3!*x^4+・・・・ =-x^2*(1*x^0+2!*x^1+3!*x^2+・・・・) =-x^2*Σ[i=0,∞](i+1)!*x^i   

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 なるほど、そちらの式に代入するんでしたか・・・あなた様の答えを見ながら、式の変形で無理矢理求めてみました(よって超天下りです): y(x) = Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = a[0]*x^0+a[1]*x^1+a[2]*x^2+Σ[i=3,∞] ( a[i] * x^i ) = (0)*(1)+(0)*x+(-1)*x^2+Σ[i=3,∞] { -(i-1) ! * x^i } = 0 + 0 - x^2 + Σ[i=3,∞] { -(i-1) ! * x^i } = -x^2 - Σ[i=3,∞] { (i-1) ! * x^i } = -x^2 * [ 1 + Σ[i=3,∞] { (i-1) ! * x^(i-2) } ] = -x^2 * [ 1 + Σ[i=2,∞] { i ! * x^(i-1) } ] = -x^2 * [ 1 + Σ[i=1,∞] { (i+1) ! * x^i } ] = -x^2 * [ (0+1) ! * x^0 + Σ[i=1,∞] { (i+1) ! * x^i } ] = -x^2 * Σ[i=0,∞] { (i+1) ! * x^i } これでようやく分かりました。 (収束について調べた後で)ベストアンサーを差し上げます。 ありがとうございました!

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  • 回答No.6
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

1)~4)は、物理学(または他の実験科学)上は有意義でありえますが、 5)を尽くしていなければ、数学としては無意味です。 あるいは、それが 5)を尽くすように、数学的考察の余地が残されている ということになろうかと思います。 また、いくら数学は便宜的に使うだけだと言っても、あまりに荒唐無稽 なのは困ります。 > 例えば、この質問のケースではan=-(n-1)!よりもx^nが急激に小さくなり、 > 問題の無限級数も収束するような範囲にxが限定されているのかもしれません。 そのような x は存在しない…というのが、収束半径が 0 であることの意味です。 > また収束させる為にanの高次の項を強制的にゼロと置く事さえも可能です。 高次項を打ち切ったら、それは、もとの級数とは別の関数です。 その「別の関数」は、当然、もとの微分方程式の解ではありません。 どういう意味で「可能」なのか、よく考えてみた方がいいように思います。 数式なんて唯のヒントだ、合ってようが間違ってようが好きなように扱うんだ… という行動が、物理学の一部を切り開いてきたのは歴史的事実でしょうが、 それでは数学ではない…というのも、厳然とした事実です。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 確かに物理や工学では突拍子もない計算もあるようですね。どれだけの厳密性が必要か、が数学と物理では違うんでしょうね。数学がただの道具として使われるのは仕方のないことかもしれませんね。 有名なコピペです: 天文学者と物理学者と数学者がスコットランドに旅行に行った。 電車の窓から外を眺めると、一頭の黒い羊がいた。 これを見て天文学者が行った。 「へぇ、スコットランドの羊は黒いんだ。」 すると、天文学者のこの言葉を聞いた物理学者が言った。 「だからお前たち天文学者は論理的じゃないとバカにされるんだ。正しくは『スコットランドには少なくとも一頭黒い羊がいる』だろ?」 すると、物理学者のこの言葉を聞いた数学者が言った。 「だからお前たち物理学者は論理的じゃないとバカにされるんだ。正しくは『スコットランドには少なくとも一頭、少なくとも片側が黒い羊がいる』だろ?」 ・・・確かに正論ですけど。(笑) ありがとうございました。

  • 回答No.5

昔学生から「微分可能性も収束性も検討せずに、そんな計算していいんですか?」 と聞かれたことが有ります。 私の答えは概ね次の様なものでした。 1)ある現象を分析して、それが従うと思われる合理的な方程式を立て、 2)その時にある解を仮定して、それを例えば級数解として求める。 3)そして、何らかの結果が得られたならば、それを計算してみればいい。 4)物理的に妥当なら、発散もせず穏当な挙動を示す結果が得られる。 5)それを確認の為に更に数学的に検討すれば良い。 議論は 5)を尽くしていないから1)~4)は駄目と云うような感じにも受け取れます。 例えば、この質問のケースではan=-(n-1)!よりもx^nが急激に小さくなり、 問題の無限級数も収束するような範囲にxが限定されているのかもしれません。 xの範囲も定義されていない状態で、収束云々を議論しても始まりません。 また収束させる為にanの高次の項を強制的にゼロと置く事さえも可能です。 δ関数や段階関数など等、物理屋や工学者のアイデアから始まったものも 数多く有ります。それは収束云々の基礎を固めてから、初めてその上に建てられた ものではありません。 取り敢えず(この場合本にしたがって)やってみる、そうすれば何時か他の アドバイスも理解できる様に成ると思います。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 分かります。よく物理シミュレーションの世界では計算速度が速くて収束しやすいこともあって厳密的な数式の値よりも近似値の方が好まれたりしますよね。今読んでいるこの本も工学のための本なので、そういう側面があるのだと思います(そのお陰でこんな自分でも読み進められているのですが)。数学が目的か手段かの違いですよね。視点の違いだけで、結局どちらも正しいのだと思います。 とりあえずこの本は最後まで読むつもりです。そして、別の微分方程式の本も読みたいですね(もう次の本は決まっています)。 ありがとうございました。

  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

1 + 1 + 1 + … という級数を考えてみましょう。 S = Σ[i=1→∞] 1 と置き、任意の自然数 n について S = Σ[i=1→∞] 1 = (Σ[i=1→n] 1) + (Σ[i=n+1→∞] 1) = n + (Σ[j=1→∞] 1) = n + S  {i=n+jと置いた} より、n = S - S = 0. 任意の自然数が =0 であることが、証明できてしまいました。 どこが、間違っていると思いますか? このオカシナ証明と、質問文中の考察の共通点が判りますか?

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 読み解いてみます。 S = Σ[i=1→∞] 1 0~nまでの合計とn+1~∞までの合計に分けて = (Σ[i=1→n] 1) + (Σ[i=n+1→∞] 1) 前項は1×n個なのでnで置換、後項はn+1~∞までなので…既に∞ですね…とはいえ、 = n + (Σ[j=1→∞] 1)  {i=n+jと置いた} ←ちょっと待った! = n + S'   {左辺のSと区別するためにS'とします} この右辺のS'は、左辺のSよりnだけ少ないはずです、つまり、 S = n + S' S = n + (S-n) にならないといけないですよね。同じ∞でも大小があるということでしょうか…実は∞についてはよく分かっていません…どんな数字を飲み込んでも同じ大きさでいられる存在なのでしょうか…。 今回の問題に話を戻しますと、 > x^2 * (dy/dx) - y = x^2 を y(x) = Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) のべき級数を用いて >     x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = x^2 …と変換しちゃっていますが、そもそもべき級数展開が不可能なので∞まで加算していく過程で誤差みたいなもの(?)が生じている、ということでしょうか? もしよろしければお答えください。 ありがとうございました!

  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

←A No.1 補足 変な難癖をつけられているようですが、 妨害なんてしていませんよ。 (x^2)(発散級数) - (発散級数) = x^2 という式から、式変形を試みることが 無意味だ…と説明しているのです。 これは、本当に大切な事項です。 個々の微分方程式や、特定の解法以前に、 級数を扱うのであれば、収束性に関する 最低限は勉強しておくべきです。 その書籍にある a[n] = -(n-1)! という 結果は、計算が間違っているのではなく、 y = Σ[i=1→∞] a[i] x^i と表せると 仮定したことが間違ってたのです。 問題の微分方程式 (x^2)(dy/dx) - y = x^2 に マクローリン展開可能な解があるとすれば、 y = (-x^2) Σ[i=0→∞] (i+1)! x^i に限られる。 そこの必要性は正しい。しかし、 Σ[i=0→∞] (i+1)! x^i は収束半径 0だから、 この方程式にはマクローリン展開可能な解は 存在しない。十分性が欠けています。 言い換えれば、この方程式の解は マクローリン展開可能ではない …ということになります。 (-x^2) Σ[i=0→∞] (i+1)! x^i は、 問題の微分方程式の解ではないのです。 最終的には否定された解の候補だったに過ぎない。 それを原式へ代入して、そこから何かを 考察しようとしたことが間違いです。 その著者の解法自体は、貴方が読んだ本に書いて あるのだろうし、何を考えてそれを書いたかは、 著者本人しか知りません。出版社を通じて、 著者に問い合わせてみたらどうですか?

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質問者からのお礼

ありがとうございます。難癖つけてすみませんでした。 他の微分方程式の本やPDFを見てみますと、確かに最初に収束するか発散するかの説明が必ずありますね。 今回の本の、べき級数で微分方程式を解く方法の章には収束・発散という言葉は1文字も出てきませんでした。 では、収束判定と収束半径の計算をしてみます。 正直あまり覚えていないのですが、ダランベールの判定法を使いますと: 級数のすべての項がa[i]>0である正項級数Σ[i=2,∞]a[i]に対して L = limit[i→∞] |a[i+1]| / |a[i]| = limit[i→∞] |-{(i-1)+1}!| / |-(i-1)!| = limit[i→∞] |-i!| / |-(i-1)!| = limit[i→∞] |-(i-1)! * i| / |-(i-1)!| = limit[i→∞] |i| / |1| = limit[i→∞] i = ∞ なので、1 < L (=∞)、よって発散する(収束しない)。 そして、収束半径はその逆数なので、 L = limit[i→∞] |a[i]| / |a[i+1]| = limit[i→∞] |-(i-1)!| / |-{(i-1)+1}!| = limit[i→∞] |-(i-1)!| / |-i!| = limit[i→∞] |-(i-1)!| / |-(i-1)! * i| = limit[i→∞] |1| / |i| = 1/∞ = 0 なので収束半径R=0、ということで合っていますか? あと、本来ならべき級数は      Σ[i=0,∞] a[i] * (z-a)^i のようにzを原点からaでズラせるように書かれているみたいですね。今回の式はxの部分を書き換えると(x-0)^iなのでa=0ですよね。実は、ある複素関数の本には「R=0のときは、点z=aのみで、べき級数は収束する」と書いてあります。もしかして今回の微分方程式でも、x=a=0の場合はその点だけは特別に収束するのでしょうか(y(0)=0ということですか、あまり意味なさそうですけど)? もし、よろしければお答えください。 とりあえず、この回答を支持しておきます。 ありがとうございました!

  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

同じ問題の前回質問の時に説明したように、 その級数は、発散するので、Σ の計算を項ごとに バラシたり、くっつけたりして整理することができません。 それが成立するのは、Σ が絶対収束するときだけです。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 主旨は理解しましたが、残念ながら私が求めている回答とは違います。 では、この著者がどのように間違えて      y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i を求めたかを推測して教えていただけないでしょうか? 「おそらくこう解いたのでしょう」と提示して尚且つ「発散するので本来なら計算できません」というのであれば納得がいきます。 それともまさか回答を妨害するために書かれているのですか? (もう既にこれで叩かれはしても回答は付かないと思いますが) ということで、よろしくお願いします。

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  • 微分方程式の級数解の求め方

    微分方程式の級数解の求め方について教えてください。 y' = a^2・y, y(0) = 1 の解が y = f(x) = Σ[n=0→∞]c(n)・x^n であるとします。 この場合に、係数 c10 値と、f(1) の値を求めたいと思います。 以下のように辿ってみましたが、途中でわからなくなりました。 解の式を微分して、 y' = c1 + 2c2・x + 3c3・x^2 + ... 元の方程式を展開すると、 y' = a^2( c0 + c1・x + c2・x^2 + ... ) 両式と y(0) = 1 より、 c1 = c0・a^2 = a^2 2c2・x = c1・x → c2 = c1・x / 2・x = c1 / 2 → a^2 / 2! 3c3・x^2 = c2・x^2 → c3 = c2・x^2 / 3・x^2 = c2 / 3 → a^2 / 3! ゆえに c(n) = a^2 / n! このあと c10 を算出するために上式の a の値は?などとわからなくなりました。 ここまでに誤りがないか、このあとをどうすればよいか、教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? 

    未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? 一階の線形微分方程式の解き方は dy/dt + p(t)y = g(t) のとき e^∫p(t)dt を両辺にかけて そのあとで両辺を積分してyについて解く と習いました。 そして、未定係数法は2階の線形微分方程式を解く方法の一つとして、 習いました。 ここで疑問に思ったのが、 この未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? だとしたら下のような手順でよいのでしょうか? 同次式: dy/dt + p(t)y = 0 の一般解を求める (積分定数が残る) 非同次式: dy/dt + p(t)y = g(t) の特殊解を求める (積分定数はない) yの一般解 = 同次式の一般解 + 特殊解 よろしくお願いします。

  • 非線形微分方程式の問題について

    微分方程式の問題について質問させていただきます。 [問題] 以下の微分方程式を解け。 dy/dx(dy/dx-y)=x(x-y) ただし、x=0のときy=0とする。 非線形なのでp=dy/dxとおいて、解いたのですが、解として (1) y = 1 + x - e^-x (2) y = (1/2)x^2 の二つが出てきました。しかし、(1)の方は微分して与式に代入しても、 式を満たさなかったのでですが、これらの解は合っているでしょうか? おそらく、(1)は間違っていると思うのですが、p=dy/dxとおいて解くと、なぜかこのような解が出てきてしまいました。 回答よろしくお願いいたします。

  • 微分方程式の一般解を求めたいです。

    dy/dx = (a+by)(c(x)+d(x)y) ここで、a,bは定数、c(x),d(x)はxの区間Iで連続とする。 (1)この微分方程式は、変数変換y = 1/b(1/z - a)により次の線形微分方程式に変換されるという。 dz/dx = f(x)z + g(x) をf(x),g(x)をa,b,c(x),d(x)を用いて表せ。 ********************************************* これはf(x) = ad(x) - bc(x) g(x) = -d(x) として答えがでました。 ********************************************* (2)a = b = 1,c(x) = x + 2/x , d(x) = xとするとき、微分方程式の一般解を求めよ。 dz/dx = -2z/x -x という式になると思うんですけど一般解をどう導き出していいのか分かりません。よろしくお願いします。

  • 微分方程式

    練習問題を解いてみたのですが、あっているかどうかわからないので見てもらえないでしょうか? 個人的には出てきた答えが胡散臭い気がするのですが… 微分方程式 1+xp^2-tp^3=0,(p=dx/dt)を解け。 両辺tで微分して整理しますと (3xp-3tp^2)(dp/dt)=0…(1) また 1+xp^2-tp^3=0 より、p=0だから xp=tp^2-(1/p)…(2) (1),(2)からxを消去して (tp^3+2)(dp/dt)=0 が得られます。 ⅰ)tp^3+2=0のとき p^3=-2/t より p=(-2)^(1/3)*t^(-1/3) 問題で与えられた微分方程式に代入して整理すると (-2)^(2/3)*xt^(-2/3)+3=0 これは特異解でしょうか? ⅱ)dp/dt=0 のとき p=c, cは定数。 問題で与えられた方程式に代入して 1+(c^2)x-(c^3)t=0 これは一般解でしょうか? さて、答えが胡散臭いと思った理由ですが、一般解をパラメーターで微分した式と一般解の式からパラメーターcを消去すると特異解が得られるはずですが、わたしが計算した限りそうなってくれないからです。 どなたかご教授お願いします。

  • 非線形微分方程式の問題です

    非線形微分方程式について質問です。 とある大学院試験の数学の問題で次のような問題がありました。 y = dy/dx (x) + 4(dy/dx)^2 この微分方程式は (dy/dx)^2 の項があり、非線形微分方式です。 非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。 私はこの問を解けませんでした。 解くことは可能なのでしょうか。 お願いします。

  • 微分方程式が解けません。

    y-px=2√(1+p^2)   ただしp=dy/dx においてxに関して微分することにより微分方程式を解け という問題なんですが、解けません。 式の両辺を2乗したあとどのように解けばいいんでしょうか??教えていただけたら幸いです。お願いします。

  • 微分方程式についてわからないことが・・・

    今 y'=-1/xy の微分方程式をときました。 ∫y dy=∫-x dx 1/2×y^2=-log|x|+C =-log{Cx{ e^(1/2×y^2)=-|Cx| =Cx これを微分方程式の解とします。 これを微分して与式になることを確認したいのですが 答えの両辺をxで微分して ye^(1/2×y^2)×y'=C 両辺にxかけて xyy'e(1/2×y^2)=Cx           =e^(1/2×y^2) よってy'=1/xy となり-がでてきません。 計算途中でC=±Cとしているので符号がおかしくなるのはわかりますが、確認の際は勝手にそれを考慮して-をつけてもいいのでしょうか? どのように解答をかいていけばいいのでしょうか? わかるかたお願いします。