ベルヌーイ型の微分方程式を超幾何級数で解きたいです

質問

ベルヌーイ型の微分方程式
y'+P(x)y=Q(x)y^n
をガウス形に変換し、超幾何級数を用いて解く方法を教えてください。
よろしくお願いいたします。
P(x)=a/(x-b)、Q(x)=c/(x^2+bx)、n=-1/2 （a, b，c は定数）
の場合を解こうとしています。
普通にベルヌーイ型で解こうとすると出来ない積分がでてきます。
そこで、ガウス型に変換し、超幾何級数で解く方法を模索しています。
教科書に載っているやり方で、級数を
ｙ＝Σ(k=0,∞) ck x^(ρ+k)
のように置いても、
また、式を更に微分し常2回微分方程式にしてガウス型への変換を試みていますが、できません。
やり方をご存知の方、いらっしゃいましたらご教示ください。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

ask-it-aurora

<回答No.3

よく考えたら係数行列の成分は n に依存するので，漸化式がこんな簡単には解けませんね．もしかしたら具体的に計算していくと簡単な式になるのかもしれませんが，この漸化式を解くのが結構難しいかもしれません（もし解がこの形で表せなければ漸化式かどこかでおかしくなるかもしれませんし）． 最終手段としては帰納法がありますが，うまくいくかどうか…

回答No.3

ask-it-aurora

確認も兼ねて概要を最初から書いてみます．（変数分離型がなんとかと言った議論はしない直接的な解法です．）

もとの方程式を変数変換 z = y^(3/2) をした後，両辺に 3x(x + b)(x - b) をかけると次の線形微分方程式を得ます：
2(x^3 - b^2x)z' + 3a(x^2 + bx)z - 3c(x - b) = 0.

当初はここで z = Σc_n x^n の形をした解を探してもらおうと思ったのですが，ちょっと見通しが甘かったようです．そこでもう一度変数変換 w = x - b をします．すると
2(w^3 + 3bw^2 + 2b^2w)z' + 3a(w^2 + 3bw + 2b^2)z - 3cw = 0
となります．ここで解が z = Σ_{from n = 0 to oo} c_n w^n の形で表せると見当をつけて係数 c_n を決定します．左辺を展開したときにそれは 0 と等しいので各べき w^n の係数はすべて 0 と等しいはずです．もし僕が計算を間違えていなければ ab ≠ 0 のとき次の漸化式を得るはずです：
c_0 = 0,
c_1 = 3c/(4b^2 + 6ab^2),
c_2 = -(6b + 9ab)c_1/(8b^2 + 6ab^2)
(6ab^2 + 4nb^2)c_n + (9ab + 6nb - 6b)c_{n - 1} + (3a + 2n - 4)c_{n - 2} = 0 (n ≧ 3).

あとはこれを解くだけです（大変そうなので僕はやってません）．方針の一例を書いておきます．簡単のために上の漸化式を
c_1 = α, c_2 = β,
c_{n + 1} = p_n c_n + q_n c_{n - 1} (n ≧ 2)
と書きなおしておきましょう（c_0 = 0 だったのは解の形の予想が甘かったからで，最初から z = c_1 w + c_2 c^2 + … と予想しておけばムダがなかったのですが）．ここで行列を使って
γ_n = (c_{n + 1}, c_n) = γ_{n - 1} ((p_n, q_n), (1, 0))
と表示し，係数行列を P^{-1}DP と対角化できれば
γ_n = γ_1 P^{-1}D^{n - 1}P = (α, β) P^{-1}D^{n - 1}P
と初期値α，βからすべての c_n 値が計算できます．

最後にすべてを元にもどして y = (Σc_n (x - b)^n)^(2/3) が実際に微分方程式を満たすか確かめれば終わりです．

回答No.2

ask-it-aurora

その変数変換をした後に両辺に x^3 - xb^2 をかけると"フラットな"一階線形微分方程式になります．ここで質問にあるようなべき級数の方法を使えば解は求まるはずです（初等関数ではきっと書けないんでしょうが）．

実際には変換後は変数分離型なのでベタに斉次方程式を解いた後に，べき級数の方法で特解を探したほうが見通しがいいかもしれません．

お礼

貴重なアドバイスをありがとうございます。ただ、変数分離形になりません。
教えていただいた変数変換後次式のようになります。

x(x+b)(x-b)z'+(3a/2)x(x+b)z-(3c/2)(x-b)=0

斉次の意味から調べて、係数が０でない項の次数を同じにすることと理解しました。
上記の式ですと、微分の項は斉次になっていないのですが、どのように変形するのでしょうか。
ご教示いただけると助かります。
よろしくお願いします。

補足

自分なりに調べてみました。おっしゃることは、まず、斉次方程式

x(x+b)(x-b)z'+(3a/2)x(x+b)z=0

について解くと解釈しましたが、これを解くと

(x-b)z'+(3a/2)z=0

dz/z=(3a/2)dx/(x-b)

Ln(z)=(3a/2)Ln(x-b)＋C

z=C'(x-b)^(3a/2)

となります。定数変化法にてC'=A(x)のように置いて解き、
最後に級数解を求めるという意味でしょうか。
定数変化法の場合、ある形の解を想定して最初の微分方程式に代入することまでは調べられました。
どのような解を想定して、元の微分方程式に代入すればよいのでしょうか。
ご教示いただけると助かります。

回答No.1

ask-it-aurora

ベルヌーイ方程式の常套手段である変数変換 w = y^(1 - n) を使ってはいけない理由があるのですか？

お礼

ご指摘ありがとうございます。残念ながらご指摘のの変数変換はすでに試しました。
Z=y^(1-n)⇔Z'=(1-n)y^(-n) y' ⇔y'=y^n Z'/(1-n)
よってZ'+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)これは線形微分方程式y'+P(x)y=Q(x)と同形なので、一般解
Z=EXP(-∫P(x)dx)(∫(1-n)Q(x)EXP(∫(1-n)P(x)dx)dx+C)
よって
P(x)=a/(x-b)より
∫(1-n)P(x)dx＝3a Ln(x-b)/2+C
Q(x)=c/(x^2+bx)より
∫(1-n)Q(x)EXP(∫(1-n)P(x)dx)dx=(3c/2)∫(EXP(3a Ln(x-b)/2+C)/(x^2+bx)dx
となりこの段階で積分が困難というか、小生のわかる範囲では積分できませんでした。
お知恵を拝借いただければ幸いです。