ベルヌーイの微分方程式

質問

ベルヌーイの微分方程式が全くわかりません。お願いします、解いてください<m(__)m>

Ｘ＞Ｏのとき

Ｘ・dy/dx＋y＝y^2・logＸ

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

１）　変数変換を行って、微分方程式を変形させる。
　両辺をｘで割って、ベルヌーイの微分方程式　の標準的な形にします。
　　dy/dx+y/x＝log(x)/x y^2

　ここで、ベルヌーイの微分方程式　と比べますと、ｍ＝２　となっていることが分かりますので、
　　ｕ＝ｙ^(1-2)＝１／ｙ　　　　（∴ｄｕ＝－ｄｙ／ｙ^2）
と置きます。

http://www.sys.eng.shizuoka.ac.jp/~miyazaki/Kougi/LinB/lin_03.pdf

　この変数変換を用いて元の微分方程式を変形させますと、次のようになります。

　　du/dx-u/x＝-log(x)/x　　・・・☆

２）　同次微分方程式と見なして一般解を得る。
　　式☆の右辺を０と見なすと、変数分離形になるので、次の一般解が得られます。

　　ｕ＝ｖｘ　（ｖ：積分定数）　　・・・（１）

３）　定数変化法で、式☆の非同次微分方程式の一般解を得る。
　　式（１）の積分定数ｖをｘの関数とすると、
　　du＝ｘdv＋ｖdx
なので、これを式☆に代入すると、次の微分方程式を得ます。

　　dv＝-log(x)/x^2 dx

　∴ｖ＝log(x)/x+1/x+C　（Ｃ：積分定数）

４）　変数を元に戻す。

　∴ｕ＝log(x)+1+Cx
　∴ｙ＝1/{log(x)+1+Cx}

お礼

どうもです<m(__)m>