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ベルヌーイの微分方程式
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１） 変数変換を行って、微分方程式を変形させる。 両辺をｘで割って、ベルヌーイの微分方程式 の標準的な形にします。 dy/dx+y/x＝log(x)/x y^2 ここで、ベルヌーイの微分方程式 と比べますと、ｍ＝２ となっていることが分かりますので、 ｕ＝ｙ^(1-2)＝１／ｙ （∴ｄｕ＝－ｄｙ／ｙ^2） と置きます。 http://www.sys.eng.shizuoka.ac.jp/~miyazaki/Kougi/LinB/lin_03.pdf この変数変換を用いて元の微分方程式を変形させますと、次のようになります。 du/dx-u/x＝-log(x)/x ・・・☆ ２） 同次微分方程式と見なして一般解を得る。 式☆の右辺を０と見なすと、変数分離形になるので、次の一般解が得られます。 ｕ＝ｖｘ （ｖ：積分定数） ・・・（１） ３） 定数変化法で、式☆の非同次微分方程式の一般解を得る。 式（１）の積分定数ｖをｘの関数とすると、 du＝ｘdv＋ｖdx なので、これを式☆に代入すると、次の微分方程式を得ます。 dv＝-log(x)/x^2 dx ∴ｖ＝log(x)/x+1/x+C （Ｃ：積分定数） ４） 変数を元に戻す。 ∴ｕ＝log(x)+1+Cx ∴ｙ＝1/{log(x)+1+Cx}
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どうもです<m(__)m>