微分方程式の解き方を教えてください！

質問

以下の微分方程式を解いて計算したいのですが、学生以来に微分方程式に触れることとなり、解き方が全く思い出せません。明日には何とかしないといけないので、大変申し訳ないのですが、誰か教えて下さい。

ｄY/ｄX　＝　X　＋　Y - X・Y

回答No.2

FT56F001

W＝XYとおくと，簡単になるのかなぁ?

とにかく解いてみます。
まず，右辺のxを省略して同次形にして
dy/dx=y(1-x)を解くと
y=C*exp(-(x-1)^2/2)となります。
Cに定数変化法を用いて
dy/dx=x+y-xyを解くと，次の形です。

y(x)=1+exp(-(x-1)^2/2)*I(x)
I(x)=∫exp((x-1)^2/2)dx+C'

I(x)は誤差関数erf(x)と似た形なので，(多分)きれいに積分できません。

[検算]
y'=-(x-1)*exp(-(x-1)^2/2)*I(x)+exp(-(x-1)^2/2)*exp((x-1)^2/2)
=(1-x)(y-1)+1=x+y-xy

お礼

ありがとうございました。すごく、たすかりました。

式は解けたのですが、その式で計算しても、値がどうも変で、私が立てた、式自体が間違っているようです。
別途、式の立て方について質問しますので、もしよかったら、そちらも見てコメントいただければと思います。

回答No.1

Knotopolog

解法のヒント：

W＝XY

とおくことにより，Ｗに関する１階線形常微分方程式になります．

１階線形常微分方程式は求積法で一般解が与えられていますから，

解の公式を用いて，与式の一般解が得られます．