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微分方程式の解き方を教えてください!

以下の微分方程式を解いて計算したいのですが、学生以来に微分方程式に触れることとなり、解き方が全く思い出せません。明日には何とかしないといけないので、大変申し訳ないのですが、誰か教えて下さい。 dY/dX = X + Y - X・Y

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  • 回答No.2

W=XYとおくと,簡単になるのかなぁ? とにかく解いてみます。 まず,右辺のxを省略して同次形にして dy/dx=y(1-x)を解くと y=C*exp(-(x-1)^2/2)となります。 Cに定数変化法を用いて dy/dx=x+y-xyを解くと,次の形です。 y(x)=1+exp(-(x-1)^2/2)*I(x) I(x)=∫exp((x-1)^2/2)dx+C' I(x)は誤差関数erf(x)と似た形なので,(多分)きれいに積分できません。 [検算] y'=-(x-1)*exp(-(x-1)^2/2)*I(x)+exp(-(x-1)^2/2)*exp((x-1)^2/2) =(1-x)(y-1)+1=x+y-xy

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質問者からのお礼

ありがとうございました。すごく、たすかりました。 式は解けたのですが、その式で計算しても、値がどうも変で、私が立てた、式自体が間違っているようです。 別途、式の立て方について質問しますので、もしよかったら、そちらも見てコメントいただければと思います。

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解法のヒント: W=XY とおくことにより,Wに関する1階線形常微分方程式になります. 1階線形常微分方程式は求積法で一般解が与えられていますから, 解の公式を用いて,与式の一般解が得られます.

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