微分方程式なんですけど

質問

微分方程式で　y' = dy/dx とします。

x*(x - 2*y)*y' = (x^2 + 2*y^2) = 0
が、
y' = - (x^2 + y^2)/x*(x - 2*y)
となり、
y' = -(1 - 2*y^2/x^2)/(1 - 2*y/x)
y/x = υ とおくと、
y = υx
dy/dx = υ + x*dυ/dx

ここまでは出切るのですが（間違ってるかも）この先がわかりません。
詳しい計算の方法を教えてください。
よろしくお願いします！

回答No.5

mmky · ベストアンサー

#4oshiete_goosanの回答であっています。
参考まで：
y' = - (x^2 + y^2)/x*(x - 2*y)
となり、
y' = -(1+2*y^2/x^2)/(1 - 2*y/x)
y/x = υ とおくと、
y' = -(1+2v^2)/(1 - 2v)
y = υx
dy/dx = υ + x*dυ/dx
υ + x*dυ/dx= -(1+2v^2)/(1 - 2v)
x*dυ/dx= (1+2v^2)/(1 - 2v) -v
=-(1+v)/(1 - 2v) =(1+v)/(2v-1)
x*dυ/dx=(1+v)/(2v-1)
これをひっくり返して変数分離して積分する。
(＃４oshiete_goosさん指摘。）
{(2v-1)/(1+v)}dv=dx/x
∫{(2v-1)/(1+v)}dv＝∫dx/x
右辺は、∫dx/x=lnx+C
(2v-1)/(1+v)＝｛2-（3/1+ｖ)｝だから*1左辺は、
∫{(2v-1)/(1+v)}dv＝∫｛2-（3/1+ｖ)｝dv
=2v-3ln(1+v)
つまり、
2v-3ln(1+v)=lnx+C
で、両辺Exp　をとると、
Exp｛2v-3ln(1+v)｝＝Exp｛lnx+C ｝
=e＾2v/(1+v)＾3＝Cx
ということで、e＾2v＝Cx(1+v)＾3　
＃４oshiete_goosさんの回答になる。

*1そのまま積分してみる。
∫{(2v-1)/(1+v)}dv=∫{(2v/(1+v)}dv-∫{1/(1+v)}dv
一項目は部分積分を利用すると、
=2vln(1+v)-2∫ln(1+v)dv-ln(1+v)
=2vln(1+v)-2{(1+v)ln(1+v)-(1+v)}-ln(1+v)
=2(1+v)+ln(1+v)(2v-2-2v-1)
2(1+v)+ln(1+v)(-3)＝lnx+C
同じように両辺Exp　をとると、
e＾2(1+v)/(1+v)＾3=e＾(lnx+C )=Cx
e＾2(1+v)=Cx(1+v)＾3

e＾2v/(1+v)＾3=e＾(lnx+C-2 )=Cx
と同じになる。
ということでですね。

お礼

とても丁寧にありがとうございました。

回答No.4

oshiete_goo

＞x*(x - 2*y)*y' ＋ (x^2 + 2*y^2) = 0
これが解くべき微分方程式とすると，

y/x＝u とおいて,
y＝xu
y'＝u+xu' (u'＝du/dx)
これらを用いて与式を書き換えると
x(x-2xu)(u+xu')＋x^2+2(xu)^2＝0
xが恒等的には0でないとして, x^2で割って
(1-2u)(u+xu')＋1+2u^2＝0
(1-2u)xu'＋1+u＝0
変数分離形と見て
(2u-1)xu'＝1+u
(2u-1)u'／(1+u)＝1/x
{2-3／(1+u)}u'＝1/x
積分して
2u-3ln(1+u)＝ln(x)+C'

e^(2u)／(1+u)^3＝Cx
あるいは
e^(2u)＝Cx(1+u)^3
ただし, u=y/x で　Cは任意定数．

皆様, 何卒ご検証と報告をお願いします.

回答No.3

mmky

＃1さんと同じ意見です。
x*(x - 2*y)*y'=0
だとx,y' がゼロでなければ、
ｙ＝ｘ/2　しか答えがないように思うんだけど。
おかしいかなあ？

補足

そうでした。*(x - 2*y)*y' = (x^2 + 2*y^2) = 0 と書いている問題はではそうなりますね。本当にすいませんでした。正しくは

x*(x - 2*y)*y' ＋ (x^2 + 2*y^2) = 0

です。すいません。

回答No.2

may-may-jp

y＝υx
の後にもう一つ必要です。（両辺をxで微分）

補足

x*(x - 2*y)*y' = (x^2 + 2*y^2) = 0 と書いている問題は

x*(x - 2*y)*y' ＋ (x^2 + 2*y^2) = 0

の間違いでした。すいません。

回答No.1

Mell-Lily

まず、問題を正確に書きましょう。

補足

x*(x - 2*y)*y' = (x^2 + 2*y^2) = 0 と書いている問題は

x*(x - 2*y)*y' ＋ (x^2 + 2*y^2) = 0
でした。誠に申し訳ございません。