テイラーの定理の導出

質問

微積の参考書ではテイラーの定理

　　f(x) = f(a) + (f'(a)/1!)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + ・・・・ + (f^(n-1)(a)/(n-1)!)(x-a)^(n-1) + Rn ・・・・ (#1)
（Rn は剰余項）

がいきなり示され、ロルの定理を利用した証明が載っています。この証明自体を追うことはさほど難しくないのですが、
　　　　　***** どうして(#1)が湧き出たのか *****
がよくわかりません。
　f'(x) に対して、平均値の定理を使うと
　　f'(x) = f'(a) + f''(c)(x-a)
　これを [a～x] で積分して移項すれば
　　f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(c)/2 (x-a)^2 ・・・・ (#2)
　f'(x)に(#2)を適用すると
　　f'(x) = f'(a) + f''(a)(x-a) + f'''(c)/2 (x-a)^2
　これを [a～x] で積分して移項すれば
　　f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(x)/2 (x-a)^2 + f'''(c)/3! (x-a)^3

　以後この方法を繰り返せば（つまり積分の力を借りれば）なんとか(#1)を推定することができます。しかし、当然ながらこんな方法は微積の参考書には出てきません（笑）。
　積分を利用しないで(#1)を推定するにはどうしたらいいのでしょうか。

　歴史的には微積が一応確立される以前に巾級数展開の研究が進んでいて、たとえば arctan の無限級数展開がわかっていたとのことです。したがって一般の関数 f(x) に対しても

　　f(x) = f(a) + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + … + c_n(x-a)^n ・・・・ (#3)

と巾級数展開できる方法を期待したのだとは思いますが、しかしそのことはいったん忘れて（笑）、f(x)が n 回微分可能であるという条件から、なぜ巾級数で f(x) を近似できると断定できるのかがわかりにくいのです。それさえ納得できれば、係数のc_nを求めることは簡単なのですが。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

昔のわかってた人達は、今の我々以上に、「微分とは局所線形化の事」とわかってらっしゃった気がします(^^)。記述が古いのでそう読めないだけで。

　そうすると後退差分の公式あたりが出処かな？と、自分は思っています。

　　f(x＋nh)～Σf(k)(x)・nCk・h^k，k＝0，1，・・・，n　　(1)

　ここでn≧0は整数、|h|は十分小さく、～は概ね等しい、(k)はk階微分を表し、nCkはコンビネーション、Σはkについての和です。(1)の導出過程は、積分を使った(#2)と本質的に同じと思います。

　(1)でz＝nhとおき、h＝z/nを右辺へ代入して、（ようす見のために）各項ごとにn→∞をやって良いと仮定すると、テーラー展開の形になります(^^)。

お礼

ありがとうございました。とても参考になりました。