偏微分の計算

質問

xのn次の多項式g(x)でx=0におけるk次の微分係数g^k (0)が、与えられた関数f(x)のk次の微分係数
f^k (0)と同じになるものを求めよ。
また、e＾xをx=0の近くで近似するn次の多項式を求めよ。

全然わからないので、わかる方教えてくださいm(__)m

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

おそらくマクローリン展開の導入のための問題でしょう。答をアンキしろと言わずに敢えてこの問題をやれってのは、手を動かして体感し、本質を掴め！ということが狙いだと思います。実務への応用に際して極めて重要な部分ですから、まことに適切な方針でしょう。
　だから、真っ正面から、すなおに、ひたすらコツコツやればいいんです。（偏微分は関係ありません。）

　まず、
g(x) = a[0]+a[1]x+a[2](x^2)+....+a[n](x^n)
を0回微分したもの(g^(0))(x)ってのはg(x)そのものです。そして、g(x)を1回微分したもの(g^(1))(x)を計算する。さらに微分して(g^(2))(x)を計算する。(g^(3))(x), (g^(4))(x)ぐらいまでやって結果を並べてみれば、規則性が見えてくるでしょう。

　そしたら、k回微分したもの(g^(k))(x)を表す公式を作る。この公式が正しいということをきちんと証明すれば万全です。（これは帰納法でできますね）

　次に、(g^(k))(x)のxに0を代入すると、(g^(k))(0)がaの式として表せます。で、k=0～n について、(g^(k))(0)それぞれが(f^(k))(0)と等しくなるようにするには、a[0], a[1],...,a[n]はいくらになってればいいかな、というのを(f^(k))(0)を使って表すんです。（とても簡単な式で表せます。なお、その結果が意味を持つためには、f(x)がx=0でn回微分可能である、ということが前提になっています。）
これで、問題の前半が終了。

　さて、実はこの多項式g(x)は、x=0の近くでf(x)を近似しているんです。（そこんとこの解説は、この問題の答を説明するときにきちんとおこなう、という予定なのだろうと思いますが。）なので、f(x)としてe^xを使えば、「e＾xをx=0の近くで近似するn次の多項式」が得られる。（e^xのk階微分がどんな式になるかはお分かりでしょ？）

お礼

忘れてました！遅くなってすいません＾＾：ありがとうございます。おかげで分かりました。