微分の問題

質問

次の関数f(x)のn-1回微分を求めたいのですが、どなたかよろしくお願いします。

1) f(x)=exp(-ipx)/(x-ia)^n

2) f(x)=exp(-ipx)/(x+ia)^n

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

1)
f(x)＝exp(－ipx)/(x－ia)^nとおく。
1回微分
{exp(－ipx)n(x－ia)^(n－1)＋ipexp(－ipx)(x－ia)^n}/(x－ia)^2n
＝{exp(－ipx)n(x－ia)＋ipexp(－ipx)}/(x－ia)^n
＝{n(x－ia)＋ip}f(x)

2回微分
nf(x)＋{n(x－ia)＋ip}^2 f(x)

3回微分
n{n(x－ia)＋ip}f(x)＋2n{n(x－ia)＋ip} f(x)＋{n(x－ia)＋ip}^3 f(x)
＝3n{n(x－ia)＋ip} f(x)＋{n(x－ia)＋ip}^3 f(x)

4回微分
3n^2 f(x)＋3n{n(x－ia)＋ip}^2 f(x)＋3n{n(x－ia)＋ip}^2 f(x)＋{n(x－ia)＋ip}^4 f(x)
＝3n^2 f(x)＋6n{n(x－ia)＋ip}^2 f(x)＋{n(x－ia)＋ip}^4 f(x)

と続ければn－1が出てくると思います。

2)も同じ。