微分に関する証明問題がわからなくて困っております。

質問

微分に関する証明問題がわからなくて困っております。

g(x)を整数係数の多項式とする
n≧1を与えられた自然数としてf(x)=x^n*g(x)とする。

このとき、すべてのk=0,1,2...に対して、
d^k/dx^k(f(0))は、n!の倍数になることを示せ。

ライプニッツの公式あたりを用いるのでしょうか？
鉛筆が止まってしまって困っているので是非回答をお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

k=0,1,...,n-1に関しては d^k/dx^k(f(0)) = 0 だから n!の倍数
k=nのときは d^k/dx^k(f(x)) = n!g(x) + P(x)
P(0)=0であって
g(0)は整数だから n! の倍数
ここでめんどくさいから省略しているのは P(x) の形．
きちんと計算すれば，P(x) の形は分かるし，実際はもっと細かくわかる
(x^ng(x))' = nx^{n-1}g'(x) + x^n g'(x)
(x^ng(x))'' = n(n-1)x^{n-1}g(x) + nx^{n-1} g''(x) + x^ng''(x)
という感じで行けばいい．これをn階微分まで考えればP(x)の形は分かる．
答案ではきちんと議論しなければいけない

k>nのときも
P(x)の形が分かっていれば
n!(g(x)の何階かの導関数にx=0を代入)
という形になることが分かる．

お礼

よくわかりました。どうもありがとうございます。

回答No.1

178-tall

まず、整係数多項式 G(X) から。
　　　　　m
　G(X) = ΣAk*X^k
　　　　 k=0
の p 回微分 (G^p) は、
　　　　　　m
　G^p (X)= ΣAk*p(p-1) ... (p-k+1)*X^(k-p)
　　　　　 k=p
なので、(ミスってないかな？)
　G^p (0) = Ap*p!

F(x) = x^n*G(x) は、G(x) に x^n だけ下駄を履かせたものだから…。

お礼

ありがとうございました！