ライプニッツの公式を使った問題

質問

y=x^2・e^-3x　のn階導関数をライプニッツの公式をつかって求める問題についてなのですが、

ライプニッツの公式の[n]Σ[r=0]nCk*f^(n-k)*g^(k)を使って、解答は
y^(n)=(-3)^n-2{9x^2-6nx+n(n-1)}e^-3xとなります。
ですがこれってk=0,1,2までしか足していません。なぜk=0,1,2までなのでしょうか？k=0,1　若しくはk=0,1,2,3まで足してしまっては不正解ですか？
それともキリがないからたまたま2までで区切っただけでしょうか？
kをいくらまで増やして足せばいいかわかりません。
ご教授お願いします。

回答No.1

nettiw · ベストアンサー

多項式関数は何回か微分すると[ゼロ]です。
x^2...2x...2...0...0.......

Σ[k=0,n]nCk{f^(n-k)*{g^(k)}
=[(-3)^n・(e^-3x)・x^2]
+[n・(-3)^n-1・(e^-3x)・2x]
+[(n(n-1)/2)・(-3)^n-2・(e^-3x)・2]
+[ゼロ]+[ゼロ]+・・・+[ゼロ]
=(-3)^n-2・[n(n-1)-6nx+9x^2]・e^-3x　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　......... 。