組み合わせの公式

質問

k ・nCk = n ・n-1Ck-1　という公式が何故こうなるのかわかりません。日本語でわかりやすく説明していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.5

newtype · ベストアンサー

左辺＝ｎ人からｋ人の「グループ」を作り、さらにグループの「リーダー」を決めるときの場合の数。

右辺＝ｎ人から「リーダー」を一人選び、残りのｎ－１人からｋ－１人を選び、合計ｋ人の「グループ」をつくるときの場合の数。

以上

お礼

大変よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.4

paatje

私も、それほど意味があるとは思いませんが…。

　ｋ・ｎＣｋ　= ｎＣｋ・ｋ

ですから、左辺は、
ｎ個の中から、ｋ個選んで、その中から、一つ選ぶ組み合わせ
ですよね。
結果、１個の特別な要素と、（ｋ－１）個の要素からなる集合（順番はどうでもいい）とが得られます。

これを、手順を変えて、
ｎ個の中から、まず特別な要素を１個選び、
残った（ｎ－１）個の中から、（ｋ－１）個の要素からなる集合を選ぶ、
ようにしたのが、
右辺です。

こんなんでよろしいでしょうか？

補足

お返事ありがとうございます。

＞結果、１個の特別な要素と、（ｋ－１）個の要素からなる集合（順番はどうでもいい）とが得られます。

すいませんyacob様への質問と重なるですが、右辺がよくわかりません。

それと、これは「Σ(k=0→n)k・nCk」を求めよという問題にちなんで出てきたものです。

回答No.3

yacob

言葉による説明が出ていないようですので、遅ればせながら、考えを申し上げます。説明がくどくなります。ご理解いただけるとよいのですが。

n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、k個のうちの特定番目(以下、特定席と書きます。一番初めでも、終わりでも、途中でもよいのですが。)に来るものによって、k個のすべてが同じでも、別なものとするといった組み合わせ方を考えます。
たとえば、A,B,C,Dの４つについて、3つを選ぶ組み合わせでは、普通は、ABCはBCA、BAC、CAB、．．．と同じで、これらは1個としかカウントできませんが、この場合は、特定席を一番初めとして、ABCは、BCA、BAC、CAB、…は別物とするわけです。ただし、特定席のA以外は順序に無関係ですから、ABC、ACBは1つとなります。

n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、これを考えると、

1.・特定席の1個を、n個のうちから選ぶnの場合のそれぞれのついて、k個の残りのk-1個を、n個の残りn-1個から選ぶ組み合わせの数, n-1Ck-1 だけありますから、総数は、n*n-1Ck-1 となります。

２・次に、別にこれを考えますと、n個のうちから、k個を選ぶ単純な組み合わせは、nCk の組数がありますが、その1組ごとについて、特定席にk個のうちの1つを入れる組み合わせは、k個ありますから、総数は、k*nCk　であります。

上記の１、２は、答えを得る筋道が違っただけですから、同じであります。つまり、与式が証明されたわけです。

補足

お返事ありがとうございます。

＞1.・特定席の1個を、n個のうちから選ぶnの場合のそれぞれのついて、k個の残りのk-1個を、n個の残りn-1個から選ぶ組み合わせの数, n-1Ck-1 だけありますから、総数は、n*n-1Ck-1 となります。

すいません。ここがわかりません。特等席を１個選ぶには誰を特等席にするかのn通りしかないように思われるのですが、n-1Ck-1 はなにを計算しているのかよくわかりません。

回答No.2

noname#7269

日本語でということですが・・・

私が考えるには、
この公式じたいにはあまり意味がなく（意味が無くもないかもしれませんが・・・）
nCk とn-1Ck-1の間の関係式というか、変形しただけだと思います。
つまり
nCk = n /k・n-1Ck-1　　は分かりますでしょうか？
nCk = n ・(n-1)・・・(n-K+1)/k・(k-1)・・・・2・1
　　=n/k・(n-1)・・・(n-k+1)/(k-1)・・・・2・1
　　=n /k・n-1Ck-1　　
あとは、両辺にＫを掛けただけです。
私の結論は、
無理やりこじつけて、k ・nCk = n ・n-1Ck-1　に意味をつけられるかもしれませんが、ただ変形しただけだと思います。

お礼

お返事ありがとうございます。ただの変形だったのですね。これなら自分でもすぐ作れそうです。ありがとうございます。

回答No.1

128yen

左辺のnＣkは公式に当てはめて（教科書に載っています）
nＣk
＝ｎ・(n-1)・(n-2)・・・・{n-(k-1)｝/k!
＝ｎ・(n-1)・(n-2)・・・・（n-k+1)/k!
ここでk!とは k・(k-1)・(k-2)・・・2・1なので式を変形してk!＝k・(k-1)!と出来ます。
よって左辺は
＝k・ｎ・(n-1)・(n-2)・・・・（n-k+1)/k・(k-1)!
＝ｎ・(n-1)・(n-2)・・・・（n-k+1)/(k-1)!

右辺のn-1Ck-1を同様に公式に当てはめると
n-1Ck-1　
＝(n-1)・{(n-1)-1｝・・・・[(n-1)-｛(k-1)-1}]/(k-1)!
＝(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!
となります。
よって右辺は
＝n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!

左辺と右辺は同じなので等号が成立するわけです。

お礼

お返事どうもありがとうございます。式の変形もわからなかったので、解説していだだけてとても参考になりました。