- ベストアンサー
nCk=(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck証明
nCk=(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck の証明問題なのですが、やり方が全くわかりません。 nCk (n-1)C(k-1) (n-1)Ck を全部書きだして、通分して足しても何もなりませんでした…… すいませんが、ご存じの方がいらっしゃいましたらご教授ください。 よろしくお願いします。
- mogeraccho
- お礼率57% (90/157)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数0
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
二項定理 (1+x)^n = (nC0) + (nC1)x + (nC2)x^2 + … + (nCn)x^n を n について漸化しましょう。(1+x)^n = (1+x)・(1+x)^(n-1) より、 (nC0) + (nC1)x + … + (nCn)x^n = (1+x){ ((n-1)C0) + ((n-1)C1)x + … + ((n-1)C(n-1))x^(n-1) }. 両辺の x^k 項を比較すれば、(nCk)x^k = 1・((n-1)Ck)x^k + x・((n-1)C(k-1))x^(k-1). すなわち nCk = (n-1)Ck + (n-1)C(k-1). 趣味的な話ですが、私は、nCk = n!/{k!(n-k)!} を定義とするよりも、 二項定理のほうを nCk の定義として、逆に n!/{k!(n-k)!} は導出する 立場のほうが好きだなあ。「二項係数」って、そういう名前でしょ。
その他の回答 (4)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>通分して足しても何もなりませんでした…… 分母を共通にして通分し、分子の共通項を括り出すだけでしょう。 (n-1)C(k-1)+(n-1)Ck =(n-1)!/((k-1)!(n-k)!) + (n-1)!/(k!(n-k-1)!) =(n-1)!k/(k!(n-k)!) + (n-1)!(n-k)/(k!(n-k)!) =(n-1)!(k+(n-k))/(k!(n-k)!) =(n-1)!n/(k!(n-k)!) =n!/(k!(n-k)!) =nCk (証明終り)
- KEIS050162
- ベストアンサー率47% (890/1879)
#2です。 失礼、最後の一番肝心なところ間違えました。 {k+(n-k)}{(n-1)…(n-k+1)} = n(n-1)…(n-k+1) でした。
- KEIS050162
- ベストアンサー率47% (890/1879)
もっとスマートな方法もあるとは思いますが、ゴリゴリとやっても結構出来ます。 nCk=n(n-1)…(n-k+1)/k(k-1)…1 (1)(n-1)C(k-1)=(n-1)(n-2)…{(n-1)-(k-1)+1}/(k-1)(k-2)…1 (n-1)C(k-1)=(n-1)(n-2)…(n-k+1)/(k-1)(k-2)…1 (2)(n-1)Ck=(n-1)(n-2)…{(n-1)-k+1}/k(k-1)…1 (n-1)Ck=(n-1)(n-2)…(n-k)/k(k-1)…1 (1)+(2) の分母を通分する。 {(1)の分子 × k + (2)の分子 }/k(k-1)…1 これで分母は揃ったので、面倒くさいので、分母は放っておいて、分子だけみる。 (1)の分子×k と (2)の分子 の共通因子は、(n-1)…(n-k+1)なので、 {k-(n+k)}{(n-1)…(n-k+1)} = n(n-1)…(n-k+1) これで分母・分子とも一致します。 ご参考に。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
何をどうやって「通分して足しても何もなりませんでした」という結論に達したのでしょうか? いろいろあると思うがたとえば n番目を選ぶか選ばないか でもできる.
関連するQ&A
- Un=Σ{k=1~n}Ck とするとき
Un=Σ{k=1~n}Ck とするとき Σ{k=1~n}{Ck+1} をUnを使って表したいのですが、 解答はUn+C(n+1)-C1 となっていました。 どうしてなるのかがいまいちわかりません。 Un+C(n+1)ではダメなのでしょうか? 教えてくださいよろしくおねがいします。 ※この質問は問題の一部を抜き出してます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 証明なんですが・・・
Σ(k=1 から n) nCk2^k=3^n-1を証明せよという問題なんですが・・・ 二項定理を使って頑張ってみたのですが、考えがいたらず証明できませんでした。 どなたかやり方だけでもいいので教えていただけると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の数列の和の計算 4-7再質問
高校数学の数列の和の計算 4-7 次の和を計算せよ (1)Σ[k=1→n]k・nCk (2)Σ[k=1→n]k^2・nCk 解説は(1)はK・nCk=n・n-1Ck-1となっていてこの式の意味が 左辺の意味ですがn人からk人を選んでそのk人から一人のリーダーを選ぶ場合の数で右辺はリーダーを一人決めて、残りのn-1人からk-1人を選ぶという事ですか?良く分かりません (2)は(1)のK・nCk=n・n-1Ck-1を使って Σ[k=1→n]k^2・nCk=nΣ[k=1→n]k・n-1Ck-1(1) =nΣ[k=1→n]{(k-1)・n-1Ck-1}+n-1Ck-1}(2) =n[Σ[k=2→n]{(k-1)・n-1Ck-1}+Σ[k=1→n]n-1Ck-1](3) =n[(n-1)Σ[k=2→n]{(n-2)・n-1Ck-2}+Σ[k=1→n]n-1Ck-1](4) =n(n-1)・2^(n-2)+n・2^(n-1)(5) =n(n+1)・2^(n-2)(6) とあるのですが(3)から(4)の変形をどうやったのか分かりません
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の数列の和の計算 4-7
次の和を計算せよ (1)Σ[k=1→n]k・nCk (2)Σ[k=1→n]k^2・nCk 解説はK・nCk=n・n-1Ck-1となっていてこの式の意味が左辺がn人からk人を選び、そのk人から1人のリーダーを選ぶという場合の数で右辺はn人から1人のリーダーを選んでからk人の組をつくるという場合の数で一致するとあるのですが、左辺は分かりますが右辺の意味ですが1人のリーダを選んだ後n-1任からk組作るのだったらn・n-1Ckじゃないんですか? (2)は(1)のK・nCk=n・n-1Ck-1を使って Σ[k=1→n]k^2・nCk=nΣ[k=1→n]k・n-1Ck-1(1) =nΣ[k=1→n]{(k-1)・n-1Ck-1}+n-1Ck-1}(2) =n[Σ[k=2→n]{(k-1)・n-1Ck-1}+Σ[k=1→n]n-1Ck-1](3) =n[(n-1)Σ[k=2→n]{(n-2)・n-1Ck-2}+Σ[k=1→n]n-1Ck-1](4) =n(n-1)・2^(n-2)+n・2^(n-1)(5) =n(n+1)・2^(n-2)(6)とあるのですが(1)から(2)、(2)から(3)、(3)から(4)の変形をどうやったのか分かりません
- ベストアンサー
- 数学・算数
- k=1?2^n≧n/2+1
k=1?2^n≧n/2+1 を証明せよ。 という問題で、解答は数学的帰納法で証明しているのですが、どうしてn=0のときを示さなくてもいいのでしょうか? 2^nにおいてn=0とすると1となるから、このときも調べないといけないのでは?と思うのですが… どなたか教えてくださいm(__)m Σの表記の仕方がわからないため、おかしな書き方になっていたらすいません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- n→∞のときn^k →∞ (k>0)の証明
高校の数3の参考書の「数列の極限」の分野に「n→∞のときn^k →∞ (k>0)」の証明が載っていたのですが、よくわからない部分があります。 kが正の整数のとき明らか。 kが正の有理数のときk=q/p (p, qは正の整数)とすると …(1) n^k=n^(q/p) =(n^q のp乗根) n^q→∞であるから(n^q のp乗根)→∞ …(2) すなわちn^k→∞ kが正の無理数のとき、 (以下略) この、(2)の部分が分かりません。 この部分は結局、(ある数列)→∞ならば、(その数列の自然数乗根)→∞ということを根拠にしてるのかなと思うのですが、それがどうして言えるのでしょうか? あと、(1)の部分ですが、この設定だと任意の正の整数kも表せるので、この場合において題意を示せれば、1行目の「kが正の整数のとき」の検討は要らないように思うのですが、それで合っているでしょうか? よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 二項係数に関する 証明問題についてです
参考書なども色々調べたのですが いいものに当たらず 自分で解いてみるも あと一歩まではいけるのですが 証明すべき数値に至ることができません。分からないので どなたか力を貸していただければと思います(><) さっそくですが、次の二式を用いてある式を証明せよという問題なのですが、使う二式は (1+x)^n= Σ(k=0~n) nCk x^k nCk=n!/((n-k)!・k!) (0≦k≦n) です。 そして、証明する式は以下の式です。 Σ(k=0~[n/2]) nC2k =2^(n-1) です。 ちなみに aCb はa個の中からb個を選ぶ組み合わせ という意味で書きました。本当は2行1列の行列のような形で書きたかったのですが、見にくそうなので Cで書いておきました。また、Σの範囲の上限[n/2]は、ガウス記号で、n/2を超えない最大の整数ということです。このガウス記号の扱い、消し方についてもよく分からないのかもしれません。どなたか分かる方 ご指導いただけると助かります。よろしくお願いしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- C^k級であることの証明
次の定理で、C^k(R×R)であることを証明する方法が分かりません。 n=1,k>1, F,GはC^k(R)とする。 このとき u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct) ,(x,t)はR×R とおくと, uはC^k(R×R)であり,uはdu/dt-C^2du/dx=0を満たす。 ↑C^kはk階までの偏導関数が全て存在しそれらが連続という意味で、Rは実数、dは偏微分の記号の代わりに使ってます。 このような定理でC^k(R×R)であることはどのように証明すればいいのでしょうか??
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 組み合わせ(nCkに関して)
nCkをプログラムで求めるのに、 n-1Ck-1 + n-1Ck (0<k<nの時) で求めることができるらしいのですが、 この性質がいまいち、良く分からないんです。 どうか、少し詳しく教えてください。 私は大学生なのでそれくらいのレベルでお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数