二項係数に関する 証明問題についてです

質問

参考書なども色々調べたのですが　いいものに当たらず　自分で解いてみるも　あと一歩まではいけるのですが　証明すべき数値に至ることができません。分からないので　どなたか力を貸していただければと思います（＞＜）

さっそくですが、次の二式を用いてある式を証明せよという問題なのですが、使う二式は

(1+x)^n= Σ(k=0～n) nＣk x^k

nＣk=n!/((n-k)!・k!) (0≦k≦n)

です。
そして、証明する式は以下の式です。

Σ(k=0～[n/2]) nＣ2k =2^(n-1)
です。　ちなみに　aＣb　はa個の中からb個を選ぶ組み合わせ　という意味で書きました。本当は２行１列の行列のような形で書きたかったのですが、見にくそうなので　Ｃで書いておきました。また、Σの範囲の上限[n/2]は、ガウス記号で、n/2を超えない最大の整数ということです。このガウス記号の扱い、消し方についてもよく分からないのかもしれません。どなたか分かる方　ご指導いただけると助かります。よろしくお願いしますm(__)m

回答No.5

yuki0012 · ベストアンサー

=Σ(k=0～n) nＣk x^k
=Σ(kはn以下の偶数) nＣk x^k + Σ(kはn以下の奇数) nＣk x^k

ということです。
偶数は2*0,2*1,2*2,2*3,...,2*[n/2]だから
Σ(kはn以下の偶数) nＣk x^k
=Σ(k=0～[n/2]) nＣ2k x^(2k)
ですね。

で、Σ(k=0～[n/2]) nＣ2k = Σ(kはn以下の奇数) nＣk
と,xに1を代入した式
2^n= Σ(k=0～[n/2]) nＣ2k + Σ(kはn以下の奇数) nＣk
を使えば答えが出ます。

回答No.6

Tacosan

今さらかつ本質的に同じですが, 両辺を x^2 - 1 で割った余りを考えてもおもしろいかも.
右辺では x^2 ≡ 1 を代入して (偶数次の係数) + (奇数次の係数) x.
左辺では (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 ≡ 2(x+1) を使うと (x+1)^n = 2^(n-1) (1+x).

回答No.4

yuki0012

本当にわかったのかな？笑
(1+x)^n
=Σ(k=0～n) nＣk x^k
=Σ(k=0～[n/2]) nＣ2k x^(2k) + Σ(kはn以下の奇数) nＣk x^k
だから、x=-1を代入すると
0=Σ(k=0～[n/2]) nＣ2k - Σ(kはn以下の奇数) nＣk
となることを使うんですね。

お礼

実は　今までの方のを読むたびに　それごとには納得していたのですが
答えには結びつかずにおりました(⌒▽⌒；)
確かなご解答　ありがとうございます！今からゆっくり読んでみますので　とりあえず今はありがとうございますｗもし分からないことがあれば　また質問させていただくかもしれません　汗

補足

さっそく分からないことがありまして、　質問させていただけますでしょうか…
３行目から４行目は　お決まりの式変形なのでしょうか？

回答No.3

Tacosan

x = 1 を代入すると左辺は 2^n.
x = -1 を代入すると左辺は 0.
これを足して 2 で割ると 2^(n-1).

お礼

ああっ！たしかに、そうなりますねぇ！
ありがとうございます！なんか感動しました　笑

回答No.2

noname#21219

♯1です。すいません、何か思い違いをしてました。
1の回答は誤りです。K'が2個ずつ飛ぶことを考慮
してないし、2[n/2]がn-1になるのも、nが奇数のとき
だけです。[(2m＋1)/2]=[m＋1/2]=m∴2[n/2]=2m=n-1
nが偶数の時、単純に2[n/2]=nです。

補足

あ、私も考えてる中で　それをやってみたこともあるのですが、偶数のときはn-1ではないけれど、最後の2^(n-1)の答えはでてきますでしょうか？

回答No.1

noname#21219

2k=k'とおきます。すると
Σ(k=0～[n/2]) nＣ2k =Σ(k'=0～n-1)nCk'
=Σ(k'=0～n-1)nCk'・1^k'=(1＋1)^(n-1)=2^(n-1)

お礼

本当にすばやい回答ありがとうございました！[n/2]を２倍すると
n-1になるのですねｗ　そこがわからず困っていました。
どうもありがとうございました！