高一、二項定理、の問題です

質問

問題を解いていて、わからないところがあったので、教えていただけるとうれしいです。

二項定理を用いて、証明せよ。ただし、ｎは２以上の整数とする。

（１＋１／ｎ）ｎ乗＞２

二項定理をIとして、
Iより、a＝１、b＝１／ｎ　とすると、
（１＋１／ｎ）ｎ乗＝ｎＣ０＋ｎＣ１・１／ｎ＋ｎＣ２・１／ｎ二乗・・・＋ｎＣｎ・１／ｎｎ乗
ｎＣｒ＞０、１／ｎ＞０であるから、ｎ≧２のとき、
ｎＣ２・１／ｎ二乗＋・・・＋ｎＣｎ・１／ｎｎ乗＞０
よって、この式は成立する。

となるのですが、
「ｎＣｒ＞０、１／ｎ＞０であるから、ｎ≧２のとき」
の部分の意味がよくわかりません。
どうしてここで出してくる必要があるのでしょうか。
また、ｎ＞２ではなくｎ≧２なのはなぜなのでしょうか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

「ｎＣｒ＞０、１／ｎ＞０であるから、ｎ≧２のとき」
の部分の意味がよくわかりません。
>ｎＣ０＋ｎＣ１・１／ｎ
1+n*(1/n)=2
なのでn≧2で第３項以降のすべての項が正であれば命題が成立すると言うことです。特に、n=2のとき、１項目2Ｃ0=１、２項目2Ｃ1*(1/2)=1で成立しますが、n≧2での第三項目以降が正であれば言い訳で、
すべてのr(2≦r≦n)に対して
第ｎ項目=ｎＣｒ*(1/n)^r ＞0を言うには
>ｎＣｒ＞０、１／ｎ＞０
を言えばいいということでしょう。

>ｎ＞２ではなくｎ≧２なのはなぜなのでしょうか？
n=2のとき
(1+1/n)^n=(1+1/2)^2=1+1+(1/4)＞2
なので命題がn=2でも成立しているから。

お礼

回答ありがとうございます。
すっきりしました！

回答No.1

owata-www

ｎＣ０＋ｎＣ１・１／ｎ＝１＋n*1/n＝２だから、
（１＋１／ｎ）ｎ乗＞２⇔ｎＣ２・１／ｎ二乗＋・・・＋ｎＣｎ・１／ｎｎ乗＞０
となります。
で、ｎＣｒ＞０、１／ｎ＞０ってことはｎＣ２・１／ｎ二乗＋・・・＋ｎＣｎ・１／ｎｎ乗は＋ってことです。

ｎ≧２なのは、条件に2以上と書いてあるからです。

お礼

回答ありがとうございます。
よくわかりました＾＾