二項定理

質問

高校1年生の者です。明日テストなのですが、
どうしても解けない問題があり、とても焦っています；

二項定理で
nC0＋nC2＋・・・・＋nC(n-1)＝nC1＋nC3＋・・・・＋nCn＝2^(n-1)
を証明せよ。(ただしnは奇数とする。)
という問題です。(見にくくてすみません)

解説を読んだのですが全く解りません・・・；

nC0×2^n－nC1×2^(n-1)＋nC2×2^(n-2)－・・・＋(-1)^n×nCn＝1
という問題は解くことができます。

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また、違う問題でもう1問解らないものがあります。
(2つ質問することは駄目ですよね・・・；
ご説明してくださる場合は片方だけで結構です；)

11^100－1の末尾に並ぶ0の個数を求めよ。
という問題です。

11^100を(10＋1)^100にして考えるところまではいったのですが、
その後どうしてよいかわかりません；
普通に計算していくのは大変ですよね。
どうやって考えればよいのでしょうか。

焦っていて至らない場所があるかもしれません；
すみません。
もし宜しければご説明お願い致します。

回答No.1

joggingman · ベストアンサー

(1-1)^n=0　だから、
nC0(1)^n*(-1)^0 +nC1(1)^(n-1)*(-1)^1＋・・・+nCn(1)^0*(-1)^n=0
ｎが奇数だから
nC0-nC1+nC2-・・・-nCn=0
移項して最初の等式がでて、
(1+1)^n=nC0+nC1+・・・+nCn=(nC0＋・・・nCn-1)+(nC1+・・・+nCn)=2^n
だから、
( ）＝2^n/2=2^(n-1)
となります。

11^100=(10+1)^100=100Ｃ0+100Ｃ1*10＋100Ｃ2*10^2＋100Ｃ3*10^3＋
・・・＋100Ｃ100*10^100
＝１＋1000＋495000＋50*33*98*1000＋・・・
となって、・・・より後の項は、10000より大きい。
とるすと、＊＊＊6000　となって、０は３つ並ぶ。

お礼

丁寧にご説明してくださり、
ありがとうございました。
なんとなく理解できました。
数学はやっぱり苦手です；
難しいですね・・・。

回答No.5

narya

正攻法じゃないと思いますが・・・
nCk＝nC(n-k)・・・(1)
(1)より(nは奇数なので)真ん中と左の式は同値です
右の式、２のn-1乗は、２分の２をかけて2^n/2とします
2^n＝(1+1)^n＝nC0*1^0*1^n+nC1*1^1*1^(n-1)+……+nCn*1^n*1^0
となります
1の累乗は無視していいので、
2^n/2＝(nC0+nC1+……+nCn)/2　です
(1)よりnCkのkが奇数か偶数、どちらかを全て消せる(÷2)ので、真ん中又は左の式と同値になります

お礼

ご説明ありがとうございました。
色々な考え方があるのですね。
もっと頭を柔らかくしなくては・・・。
ありがとうございました。

回答No.4

info22

#2です。
後半を後からと書きましたが
後半は#1さんが正しい解答を提示済みですので
回答を省略させていただきます。

回答No.3

postro

(a+b)^nを二項定理を使って展開する。
(a+b)^n=nC0a^nb^0+nC1a^(n-1)b+・・・+nCna^0b^n
a=-1 ,b=1 を代入する。
負の項を全部移項する。
次にa=1 ,b=1 を代入する。

お礼

アドバイスしてくださり、
ありがとうございました。
やはり数学は苦手で・・・
途中までは解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.2

info22

＞nC0＋nC2＋・・・・＋nC(n-1)＝nC1＋nC3＋・・・・＋nCn＝2^(n-1)
(x+y)^n=Σ[k=0,n] nCk*(x^k)*(y^(n-k))…(1)
(1)でx=y=1とおくと
2^n=A+B　…(2)
ここで
A=nC0＋nC2＋・・・・＋nC(n-1)
B=nC1＋nC3＋・・・・＋nCn

また(1)でx=1,y=-1とおけば
0=A-B …(3)
(2)と(3)から
証明するAとBの式が出てきます。

後半は後で

お礼

細かく説明してくださり、
ありがとうございました。
Σはまだ習っていないので
私の頭ではよく解らないのですが、
考え方がわかった気がします。
ありがとうございました。