- ベストアンサー
二項定理がよくわかりません
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1) (x+1)^6=6C0*x^6+6C1*x^5+6C2*x^4+6C3*x^3+6C4*x^2+6C5*x+6C6 この展開式でx=1とおけば左辺が求める値2^6=64になります。 (2) (x+1)^n の展開式でx=1とおけば証明できますよ。 (3) nCr=n!/{(n-r)!*r!}なる定義式に基づいて左辺を計算すれば右辺になりますよ。 定義に基づいて8C5の意味は8個の中から5個取り出す組み合わせ数だと考えて見てください。左辺は1個目を取り出した後、4個と5個取り出す組み合わせ数の合計です。実際に自分で取り出す過程を想定してご自分でよく考えてみてください。 自分の解答を示さないで丸投げすると削除対象になりますよ(マナー違反)。他人の質問を参考に質問の仕方に注意して下さい。
その他の回答 (1)
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
二項係数が、次のように、(x+y)^nを展開したときの係数になっていることはいいですか? (x+y)^n=[r=0→n]ΣnCr・x^(n-r)・y^r ・・・(A) (1) 式(A)で、x=y=1、n=6としてみてください。 右辺が求めたい式と同じになることが分かるはずです。 あとは、左辺の(1+1)^6を求めるだけです。 (2) 同じように、式(A)で、x=y=1としてみてください。 右辺が求めたい式と同じになりますので、あとは左辺の(1+1)^nを整理すれば証明できます。 (3) 問題は、(8-1)C(5-1) + (8-1)C5 = 8C5 を証明しなさい、ということでしょうか。 実際に、nCr=n!/{(n-r)!n!}に入れてみて計算してみれば分かるはずですが、問題を一般化して、 (n-1)C(r-1) + (n-1)Cr =nCr ・・・・(B) としても証明ができます。 式(B)の左辺 =(n-1)!/{(n-r)!(r-1)!}+(n-1)!/{(n-r-1)!r!} =(n-1)!{r+(n-r)}/{(n-r)!r!} =n!/{(n-r)!r!} =式(B)の右辺 式(B)の関係は、パスカルの三角形と密接な関わりがありますので、それを調べてみてください。それで式の意味が分かると思います。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
お礼
回答ありがとうございました。 とても参考になりました。 リンク先をよく見て考えてみます。
関連するQ&A
- 二項定理の問題で・・・
二項定理の問題なので、表記が見にくくなってしまい、すいません; nとか0とか2は、二乗とかの、全て小さいものとして表記してます; 等式(1+X)n乗 (X+1)n乗 =(1+X)2n乗 を用いて、次の等式を証明せよ。 nC0二乗+nC1二乗+・・・+nCn二乗=2nCn この問題で、 (1+X)n乗(X+1)n乗 =nC0(nC0・xn乗+nC1・Xn-1乗+・・・+nCn) +nC1X(nC0・Xn乗+nC1・Xn-1乗+・・・+nCn) +nCnXn乗(nC0・Xn乗+nC1・Xn-1乗+・・・+nCn) となるようなのですが、どうしてこんな式になるのかがさっぱりわかりません。 また、 (1+X)n乗(X+1)n乗の展開式においてxn乗の項の係数は nC0二乗+nC1二乗+・・・+nCn二乗 で、また、 (1+X)2n乗の展開式の一般項は2nCrXr乗 よってXn乗の項の係数は2nCn 両辺のXn乗の項の係数は等しいから、等式は成立する。 なぜ両辺のXn乗の項の係数を調べるのでしょうか? 本当にわかりません。アドバイスお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 高一、二項定理、の問題です
問題を解いていて、わからないところがあったので、教えていただけるとうれしいです。 二項定理を用いて、証明せよ。ただし、nは2以上の整数とする。 (1+1/n)n乗>2 二項定理をIとして、 Iより、a=1、b=1/n とすると、 (1+1/n)n乗=nC0+nC1・1/n+nC2・1/n二乗・・・+nCn・1/nn乗 nCr>0、1/n>0であるから、n≧2のとき、 nC2・1/n二乗+・・・+nCn・1/nn乗>0 よって、この式は成立する。 となるのですが、 「nCr>0、1/n>0であるから、n≧2のとき」 の部分の意味がよくわかりません。 どうしてここで出してくる必要があるのでしょうか。 また、n>2ではなくn≧2なのはなぜなのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二項定理関係の証明問題です。
等式 nC0+nC1+nC2+......+nCr+......+nCn=2のn乗 を証明せよ。 二項定理の問題では、Cの右側の数字が小さいですが、パソコンでのやり方が分からないので、大きいままです。すみません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 二項定理 証明
《問題》 (1+x)^n・(1+x)=(1+x)^(n+1)において,x^(r+1)の項の係数を比べて等式nCr+nC(r+1)=(n+1)C(r+1)が成り立つことを証明せよ。 《解答》 (1+x)^n=nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n ゆえに,(1+x)^n・(1+x)の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は 【nCr+nC(r+1)】 一方,(1+x)^(n+1)の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は (n+1)C(r+1) ここで,(1+x)^n・(1+x)=(1+x)^(n+1)であるから,両辺の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は等しい。 ゆえに nCr+nC(r+1)=(n+1)C(r+1) 質問したいのは、【 】で囲った部分です。 なぜ、係数として、そのようなものが出てきたのでしょうか? 理由を教えてください。宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二項定理についての質問です。
◎わからないこと◎ 二項定理 (a+b)^n=nC0・a^n+nC1・a^(n-1)・b…+nC(n-1)・a・b^(n-1)+nCn・b^n を用いて証明する問題で ↑の二項定理のある項から以下を ばっさり切り捨てて≧…みたいにする 問題がありますよね。 例えば (1+h)^n>1+nh^2など…。 これってこの不等号に=がついていた場合 等号が成り立つのは (左辺のn)=(右辺の項数-1) のときであっていますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- どう考えれば正解までたどり着けるか
問題 (nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2+・・・+(nCn)^2 を求めよ 回答 (1+x)^n × (1+x)^n = (1+x)^2n である 左辺のx^nの係数を考える 二項定理を二回使って展開し考えると 左辺のx^nの係数はnC0×nCn + nC1×nCn-1 + nC2×nCn-2 +・・・+nCn×nC0 つまり(nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2+・・・+(nCn)^2である 右辺のx^nの係数は2nCnである 左辺のx^nの係数と右辺のx^nの係数は等しいので (nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2+・・・+(nCn)^2=2nCn という問題なのですが、この答えは容易には思いつかないですよね 例えば試験場でポンと出されたときにどう考えれば 正解にたどりつけますかね? 自分はCが連続して足されている式の形からおそらく二項定理を使うであろうことは 予想できました なぜならば高校範囲でCが連続して足されている形は二項定理くらいしか見ないからです しかしそこから先がうまくいきませんでした (1+1)^nなどを考えたのですが正解までたどり着けませんでした 皆さんだったらどういうふうに考え正解にたどり着きますか? それともこれはもう有名な問題、覚えておくべき解法として暗記してしまうしかないですかね?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二項定理
高校1年生の者です。明日テストなのですが、 どうしても解けない問題があり、とても焦っています; 二項定理で nC0+nC2+・・・・+nC(n-1)=nC1+nC3+・・・・+nCn=2^(n-1) を証明せよ。(ただしnは奇数とする。) という問題です。(見にくくてすみません) 解説を読んだのですが全く解りません・・・; nC0×2^n-nC1×2^(n-1)+nC2×2^(n-2)-・・・+(-1)^n×nCn=1 という問題は解くことができます。 ------------------------------- また、違う問題でもう1問解らないものがあります。 (2つ質問することは駄目ですよね・・・; ご説明してくださる場合は片方だけで結構です;) 11^100-1の末尾に並ぶ0の個数を求めよ。 という問題です。 11^100を(10+1)^100にして考えるところまではいったのですが、 その後どうしてよいかわかりません; 普通に計算していくのは大変ですよね。 どうやって考えればよいのでしょうか。 焦っていて至らない場所があるかもしれません; すみません。 もし宜しければご説明お願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二項定理(基礎)
かなり数学苦手なので、回答の解説などを見ても理解できません(涙) ぜひ教えてください! (1)二項定理の展開式の一般項 まず一般項とは何かというのが分かりませんが・・・ (3x-2y)^30=30Cr(3x)^30-r(-2y)r 上の問題は分かります。 (1+x)^n=nCrx^r なぜこのようになるのか分かりません。 私は(1+x)^n=nCr1^n-r(x)^rとなると思ったんですが・・・ 解説を見ると(1+x)^nを使うと書いてあったのですが、その式すら理解できません。 (2)二項定理の係数の問題 (3a+2b)^6の展開式におけるa^4b^2の係数 私の解き方は、6C4(3a)^4(2b)^2=4860a^4b^2で解けました。 しかし、次の問題は私の苦手な一般項を使うようです・・・ (3x-2/x^2)^7におけるx^2・・・Iと1/x^2の係数・・・II Iの答えは「0」IIの答えは「-22680」となるようです。 (3a+2b)^6の解き方のようには解けないでしょうか? 全く分かりません。 どうかご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました。 とても参考になりました。 マナー違反すいませんでした。 他の人の質問のようにこれからは自分で推測して投稿します。ご親切にありがとうございました。