二項定理

質問

(X_1+X_2+・・+X_n)^4

このとき、(X_i)^2(X_j)^2 {1≦i,j≦n}の項の係数はnC2*4C2なのですが詳しく教えてください。
nC2はiとjの組み合わせだと思うんですが、4C2はなんでしょうかね？

回答No.1

pocopeco · ベストアンサー

問題を置きかえましょう。
n色のボールが一つずつ入った箱が４箱あります。

2個ずつ同じ色のボールの取り出し方は何通りあるでしょう？
この問題をとくときは、色の組合せの他に箱の組合せも数えます。

補足

箱をA,B,C,Dと区別する。
(A,B)(C,D)
(A,C)(B,D)
(A,D)(B,C)
箱の組み合わせは3通りだと思うんですが、まだよくわりません。

回答No.2

yhposolihp

(X_1+X_2+・・・+X_i+・・・+X_j+・・・+X_n)^4
=(X_1+X_2+・・・+X_i+・・・+X_j+・・・+X_n)　　Ａ
　　*(X_1+X_2+・・・+X_i+・・・+X_j+・・・+X_n)　Ｂ
　　　*(X_1+X_2+・・・+X_i+・・・+X_j+・・・+X_n)　Ｃ
　　　　*(X_1+X_2+・・・+X_i+・・・+X_j+・・・+X_n)　Ｄ

　　　　　((X_i)^2)((X_j)^2 ){1≦i,j≦n}の項の係数。
　　　　　というのは紛らわしい表現である。

　　　　　((X_i)^2)((X_j)^2 ){1≦i,j≦n、i≠j}の　各項の係数の総和。
　　　　　とした方が良い。

　　ｎ項の中から、代表として　X_i　と　X_j　の２項を選ぶ。
　　選び方は、nＣ2通りである。（X_i≠X_j）

　　次に((X_i)^2)((X_j)^2 )の次数を考える。
　　　X_i　の次数は２である。
　　　　　　X_j　の次数も２である。
　　　X_i　の次数が２になるように、Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,の中から
　　　X_i　を、ふたつ選ぶ。
　　選び方は　4Ｃ2通りである。

　　今、仮にＡとＤ選んだとする。
　　すると、X_jは残りのＢ、Ｃを選らんだ事になる。
　　だから、X_j　については、考えなくても良いとなる。

　　結局、各項の係数の総和は、nＣ2＊4Ｃ2　となる。

お礼

すっきり理解できました。ありがとうございます。