二項定理

質問

二項係数がなぜＣ（コンビネーション）で表せるかが分かりません。「パスカルの三角形を使うと分かりやすい」って言われてもよく分かりません。教えてください。

回答No.3

Ishiwara

サイコロを８回振って１の目が３回出る確率を求めます。何回目に１が出るかを指定してしまえば
（１／６）の３乗×（５／６）の５乗です。
しかし、指定しなければ、確率はずっと大きくなり
８Ｃ３（８から３つ選ぶ組合せ）
を掛けなければなりません。
パスカルの３角形の頂点から、目的の位置（８段目の、左から３＋１番目）に到達するのは、たくさんの経路がありますが、この経路の数が、係数です（経路の数だけ足されてきますから）。
この経路数は「碁盤の目」街で、東西３ブロック、南北５ブロック先まで行く経路の数と同じです。これは「８行程のうちどれを東西とするか」ですから、８Ｃ３となって、組合せの数となるわけです。
説明が簡単すぎるかもしれないので、分からないところは、具体的に再質問してください。

回答No.2

zk43

(a+b)^n=(a+b)(a+b)…(a+b)
（右辺はn個の積）

a^k*b^(n-k)という項がどのように出てくるかを考えると、n個の(a+b)
のうち、k個からはaをとり、n-k個からはbをとって掛けることにより
出てくる。aをとる(a+b)を決めると、bをとる(a+b)は自動的に決まって
しまうので、a^k*b^(n-k)はn個からk個を選ぶ総数だけ出てくる。
つまり、nＣk個出てくるので、その係数はnＣkである。

回答No.1

kabaokaba

展開をそのまま素直に
（公式を使わずに）に行うとわかります

(a+b)^2 を考えると
(a+b)^2=(a+b)(a+b) ですので，
一個一個分配法則で計算することを考えれば，
展開結果の各項は
a^2，ab，b^2 の三つです．係数はまだ分かりません．
このとき，a^2を作るには
一個目の括弧の中のaと
二個目の括弧の中のaを組み合わせるしかないので a^2 は
一個しかできません．だから係数は 1 これは 2C0
ab を作るには，
二つの括弧のうち，
どちらから a を選択するか（選択しない方は b）を決めればよいので
2C1 の作り方があるから，係数は 2C1 = 2
b^2に関しても a^2 と同様

(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)と考えて
例えば，a^2b を作るには
三つの括弧の中からaを選択するものを「二つ」決めればよいので
3C2通りのあるので，係数は 3C2=3

(a+b)^100 で a^{49}b^{51} の係数は
100個の括弧の中から a を選択する49個を決めればよいので
係数は 100C49 です．

実際は，(a+b)^4 くらいを地道に計算してみれば
仕組みが見えます．