二項定理（難）問題

質問

次の式の展開式において、〔〕内の項の係数を求めよ

(1) (x-2y+3z)^6 〔x^2y^3z〕
(2) (x^2-3x+2)^5 〔x^3〕
(3) (2x^2-1/x)^6 〔定数項〕

a>0の整数とする。
(x+a)^5を展開した時にx^2の係数が100を超えるためのaの最小値を求めるため、次の問いに答えなさい。

答えまで回答していただきたいです。
よろしくおねがいします
(1) (x+a)^5を展開したときにのx^2の係数をaを用いて表しなさい。
(2) x^2の係数が100を超えるためのaの最小値を求めなさい。

n>0を整数とする。(x+1)^nを展開したときにx^3の係数が100を超えるためのnの最小値を求めるため、次の問いに答えなさい。

(1) (x+1)^nを展開したときのx^3の係数をnを用いて表しなさい
(2)x^3の係数が100を超えるためのnの最小値を求めなさい

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

「三項定理」とよぶ方が正しいのかもしれませんが。

考え方としては「二項定理」の応用になります。
(a+b)^nにおいて、a^k*b^(n-k)の係数は？

１）(a+b)^nをばらしてみます。
(a+b)^n= (a+b)*(a+b)*(a+b)* … *(a+b)

２）右辺において、すべての(a+b)から aを選んで掛け合わせると a^nになります。
このような選ぶ方（(a+b)から aを選ぶ）は、nＣn=1とおりとなります。

３）同様に、n個の(a+b)から k個の aをとる選び方は、nＣkとおりとなります。
残りの n-k個からは bを選ぶことになります。
これが求める係数になります。

三項の場合には、これを拡張します。
(1) (x-2y+3z)^6 〔x^2y^3z〕
xが2個、-2yが3個、3zが1個ですから、
・6個の(x-2y+3z)から xを2つ選び
・残り4個の(x-2y+3z)から -2yを3つ選び
・残った1個からは 3zが選ばれる
ということになります。
計算式で表すと、
{6Ｃ2*x^2} * {4Ｃ3*(-2y)^3} * {1Ｃ1*(3z)^1}
となります。x,y,zの係数も忘れずに付けておく必要があります。

(2) (x^2-3x+2)^5 〔x^3〕
x^3ができあがるには、
・x^2 * xの場合（残りは定数項）
・x * x * xの場合（残りは定数項）
の2パターンがあります。それぞれの場合を考えて足し合わせます。

(3) (2x^2-1/x)^6 〔定数項〕
(2)の場合に似ていますが、定数項ができあがるには
・(-1)を6個掛け合わせた場合
・x^2 * (1/x) * (1/x)の場合（残りは定数項）
の2パターンになります。

それぞれの（）からどの項を選んで掛け合わせるかということに注目すれば、
あとは組合せを数え上げる問題です。
がんばってください。

回答No.2

kabaokaba

>「三項定理」とよぶ方が正しいのかもしれませんが。

本質は二項定理そのものですが
「多項定理」と呼ばれる定理があります．
＃定理の内容はぐぐればすぐ見つかりますし
＃証明も容易です．

この問題に関しては，二項定理を知っているようなので，
No.1さんご指摘のように
普通に組合せを考えれば十分に解けるでしょう．
難問なんかじゃありません．

>答えまで回答していただきたいです。
自分でやるべきです．
「正解」の答え合わせをしたいなら
自分の解答をださなければいけません．