二項定理を使う問題がわからない・・・・

質問

典型的なパターン問題のようですが理解できません。よろしくお願いします。

(1)(x^2-2/x)^6の展開式のx^6の係数と定数項を求めよ。
二項定理より一般項は　6Cr・(-2)^r・x^12-2r/x^rとなるのはわかります。しかし、「x^6の係数は12-2r=6+rなので」r=2というのがわかりません。
定数項も「定数項は12-2r=rなので」r=4というのがわかりません。

なんとなく定数項の場合「分子と分母のxの次数をそろえて1にする」ようなニュアンスはありますが、x^6のことを考えるとまったくわからなくなります。

(2)(1-a^2+2/a)^3の展開式の定数項を求めよ。
似たような問題です。。。これも二項定理の拡張の定理（名前はいい加減）より、一般項は{(-1)^q・3!・2^r/p!・q!・r!}・a^2q-rというところまでは公式に当てはめるだけなので、わかります。これは条件より、(p,q,r)=(3,0,0),(0,1,2)ともとまります。ここも大丈夫ですが、この後定数項は（一般項に(3,0,0)を代入したもの）＋（一般項に(0,1,2)を代入したもの）＝-11となっています。何でこれらを足しているのでしょうか。(p,q,r)=(3,0,0),(0,1,2)なので定数項が2通り出てくるのではないかと思います。もちろんそんなことありえないのはわかっていますが、なぜ足すのでしょうか。

長文すみません。どうか、よろしくお願いいたします。

回答No.2

metis · ベストアンサー

まず(1)．
二項定理で出た式をもう少し整理してみましょう。
6Cr・(-2x^[-1])^[r]・(x^2)^[6-r]（これが定義式そのまま当てはめたものですね（ただし、実際にはΣが付く）。変形すれば質問文の中にある式になると思います）
これを整理すると…
6Cr・(-2)^r・x^[-r]・x^[12-2r]　　・・・(☆)
=6Cr・(-2)^r・x[12-2r-r]で、このxの係数がどうなるか、を見ていくわけですが…
質問文にあるものは、☆式を以下のように変形しています。
=（前半省略）・(x^[12-2r])/(x^[r])
ここで出てきた分数を約分した時に、xの6乗になればいいのですから、12-2rがrより6大きい、すなわち12-2r=r+6となるわけです。
定数項についても同様に、xの0乗になれば良いので、12-2rとrが一致する、すなわち12-2r=rとなるわけです。

(2)については、そのまま考えると混乱するかもしれないので、考え方を。
たとえば、(x+a)・(x+b)を展開するとします。
何も考えずに展開すると、この式はx^2+ax+bx+ab、となりますよね。
この時、xの項は、ax、bx2つあると思います。
実際に「この式を展開した時のxの項は｝と訊かれると、xについて纏めて、(a+b)xとしますよね。
それと同じことが(2)で起こっています。
まじめに計算すると、定数項として、1^3と3・(a^2)・(2/a)^2が出てくるのですが、実際に計算する時は定数項として2つともまとめてしまうので、この２つを足し合わせた値になります。

お礼

面倒なものをわざわざありがとうございました。感謝します。

回答No.1

oyamala

そもそも、「x^6の係数は12-2r=6+rなので」と書いてありますが、
この式が誤解を招くものだと思います。
おそらく一般項を整理しきっていないことが原因だと思います。
1/x^r　=x^(-r)ですから、x^(12-2r)・1/x^r = x^(12-3r)となります。
そうすれば、x^6の項の係数は、12-3r=6により求められることはわかりますよね。
要するに一般項を係数の部分とx^nの部分に綺麗に分けることが肝心だと思います。