二項定理の問題

質問

問い：
(2+x)^10の展開式における最大の係数を求めよ。

どこから手をつけて良いのかも分かりません。
二項定理の考え方を駆使するのでしょうが、
10Cr2^10-r
ここで止まってしまいました。

よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

>10Cr2^10-r
(10Cr)2^(10-r)ですね。
項数が少ないですから#2さんが言われるようにrを0から10まで変えて計算する方が早いかも知れませんね。
1024,5120,11520,15360,13440,8064,3360,960,180,20,1
r=3で最大値=15360であることが分かります。

ただ全部計算する必要は無いかと思います。
2項係数(10Cr)はr=10/2で最大値252をとるrの単調増加、単調減少の関数であり、
2^(10-r)はr=0で最大値1024であるrの減少関数ですから
その積
f(r)=(10Cr)2^(10-r) (r≧0)
は0＜r≦5の範囲に最大値を持ちますからr=1から5まで計算して最大を見つければいいですね。可能性の高い真ん中あたりr=3とその前後のr=2,4を計算して大小を比較して見ればいいですね。前後が間のf(r)より小さくなっていれば最大値が見つけられたことになります。今の場合はr=3で最大となることが計算で分かり3項計算するだけで済みます。f(2)<f(3)>f(4)
万が一、f(2)<f(3)<f(4)となった場合はf(5)も計算すれば良いだけです。

一度は
f(r)=(10Cr)2^(10-r) (r≧0)
の計算をやってみる経験が必要ですね。
そしてrを変数にグラフをプロットしてみるといいですね。
後日きっと役に立つでしょう。
(2+x)^n
と言った指数部がn=1000のように非常に大きい場合はさておき
2項係数もn=10位は計算して見るといいですよ。10Crはr=5で対称ですから
実際は半分計算すればいいです。

お礼

返事が大変遅くなってしまいました。

info22さんのお答えは、実際に自分で紙に書いて、自分でそこに表れた数字な
り文字なり式なりの結果を見ようと思わせてくれました。そしてこの問題の答
えに関してはほぼ完全に理解したと思います。

その証拠に、ここ数日のMr Hollandさんとの遣り取りを御覧下さい。何が分か
らないかすら分からない状態から、こんな質問が出来るまでになりました。

info22さんのお答えは、確かに理解する切っ掛けになりました。

丁寧にお答えいただき、有難う御座いました。

回答No.7

Ishiwara

＃６です。
「微分して０」と書きましたが「じかにイコールと置く」ほうがラクかもしれません。見通しだけで、まだ自分で計算してないので、すみません。

回答No.6

Ishiwara

項の数が少ないのだから実際の値を求めればいい、という解法も一理ありますが、正攻法なら、隣り合う係数の比を微分して０と置くべきでしょう。思いのほか簡単ですよ。答のｒが整数ならメデタシ。整数＋1/２だったら曲線の歪みで判定できます。

回答No.5

Mr_Holland

＃２です。
　補足を拝見しました。

＞この部分は、nCrからnC(r+1)になるとき、係数の増加する倍率が等倍を割り込む(倍率の放物線の頂点=1(倍)であるから)という意味での「1より小さくなる」
＞という意味ですよね。

　イメージとしては、理解されたとおりでよいと思います。
　表現上、若干気になるところ(※１、※２)がありますが、きっと分かっておられることでしょう。

※１）
　１より小さくなる対象として考える比は、二項係数の比（ nCr と nC(r+1) ）ではなく、展開式の係数の比（ nCr*2^(n-r) と nC(r+1)*2^(n-r-1) )、つまり、nC(r+1)/nCr * (1/2)　だが、便宜上、x^rとx^(r+1)の係数の比であることをいうために、「nCrからnC(r+1)になるとき」と表現した。

※２）
　「係数の増加する倍率が等倍を割り込む(倍率の放物線の頂点=1(倍)であるから)」の（　）の外側は係数の比についての表現で、（　）の内側は係数そのものについての表現。
　「放物線」と表現をしたのは、連続的に点を繋げて描くと、上向きに凸の放物線に似た形になることを言っている。

　ちなみに、「倍率」（係数の比)についても、連続的に考えてグラフのイメージをして見ますと、ｙ＝(1/2)(n+1)/(r+1)-1/2 (0≦r≦n) という双曲線のグラフの一部（ｙ切片がｎ/2、ｒ切片はｎ。）になっていて、0≦r≦n　の範囲で単調に減少しています。そのため、ｙは一旦１を割り込めば、それを回復させることができないことが読み取れます。

お礼

自分の理解を確認するついでに、来るべき本格的な証明問題で困らないように
と、自分の言葉で説明する癖を付ける為、こうして補足を付けたのですが、理
解は出来ているが、言葉で説明するのがまだ覚束無いようです・・・。

info22さんのお答えで得た理解を元に、その理解を深める役に立つ助言を頂い
たのはMr Hollandさんでした。どちらも大切なことで点数に表すのは大変不本
意ですが、切っ掛けがなければ深めることが出来なかったという観点から、一
番はinfo22さん、次点はMr Hollandさんということにさせていただきました。
有難う御座いました。

回答No.3

banakona

単純に展開して、各項の係数を左から順に見ていくと・・・

２の冪に関わる部分　
　２^10から公比１／２で減っていく。
「二項展開の係数」に関わる部分
　第ｎ+1項は、10Ｃ n＝（１０・９・８・・・・（10-n+1）)/（ｎ(n-1)・・・2・1）
　第ｎ項は、10Ｃ (n-1)＝（１０・９・８・・・・（10-n）)/（（ｎ-1)(n-2)・・・2・1）
　以上から　10Ｃ n＝10Ｃ (n-1)・（11-n)/n

（11-n)/nは単調減少だから、係数の並びは（11-n)/nが２よりも大きい箇所では増えていき、２よりも小さい箇所では減っていく。
（11-n)/n≧２　これを解いてｎ≦１１／３　
　ｎは整数だからｎの最大値は３。よって係数は、第３＋１項＝第４項で最大になる。
10 Ｃ(4-1)・２＾（１０－４＋１）＝・・・

回答No.2

Mr_Holland

１０乗ならば計算したほうが速いのですが、逐次係数を計算せずに出すとすると次の方法はいかがでしょうか。

　とりあえず、問題を一般化して、(2+x)^n について考えます。
　このときの x^r の係数は、二項定理から、nCr*2^(n-r) です。
　ところで、この係数は、ｒが１大きくなると、
　　nC(r+1)/nCr * (1/2) 倍
されますので、これが１より小さくなる最初のｒのときが、最大の係数になります。

　　nC(r+1)/nCr * (1/2) ＜１
　⇔n!/{(r+1)!(n-r-1)!} / [n!/{r!(n-r)!}]　＜２
　⇔(n-r)/(r+1)＜２
　∴ｒ＞(n-2)/3

　いま、ｎ＝１０なので、
　　ｒ＞8/3
となるので、この条件を満たす最も小さいｒは
　∴ｒ＝３
となります。
　したがって、最大の係数は x^3 でその係数は、
　　10C3*2^(10-3)　＝　１５３６０
になります。

補足

お早うございます。

朝のバタバタしている時間に質問するのはいけませんね。
お願いする立場なのに挨拶も碌に出来ない子になってしまいました。

返事が遅くなって御免なさい。

さて、お答えの中で、理解できているか不安な部分があるので教えて下さい。

Mr Hollandさんの考え方は、係数そのものではなく、係数が増加する、その倍
率でグラフを書くという方法で係数の最大値を求めると言うことなのでしょうか。
-----
ところで、この係数は、ｒが１大きくなると、
nC(r+1)/nCr * (1/2) 倍
されますので、これが１より小さくなる最初のｒのときが、最大の係数になります。
-----
この部分は、nCrからnC(r+1)になるとき、係数の増加する倍率が等倍を割り込
む(倍率の放物線の頂点=1(倍)であるから)という意味での「1より小さくなる」
という意味ですよね。

宜敷御願い致します。

回答No.1

noname#101087

>(2+x)^10の展開式における最大の係数を求めよ。
>... 10Cr2^10-r ここで止まってしまいました。

x^k の係数 Ak を書きます。
　　Ak = n!*2^k/{(n-k)!/k!}

k についての Ak の増分(A_k+1 - A_k)を書きます。(やってみてください)
(n-2-3k) に比例することがわかります。
つまり、k=2 なら正、それ以上なら負。

と、ここまでがヒント。