二項定理（基礎）

質問

かなり数学苦手なので、回答の解説などを見ても理解できません(涙)
ぜひ教えてください！
(1)二項定理の展開式の一般項
まず一般項とは何かというのが分かりませんが・・・
(3x-2y)^30=30Cr(3x)^30-r(-2y)r
上の問題は分かります。
(1+x)^n=nCrx^r
なぜこのようになるのか分かりません。
私は(1+x)^n=nCr1^n-r(x)^rとなると思ったんですが・・・
解説を見ると(1+x)^nを使うと書いてあったのですが、その式すら理解できません。
(2)二項定理の係数の問題
(3a+2b)^6の展開式におけるa^4b^2の係数
私の解き方は、6C4(3a)^4(2b)^2=4860a^4b^2で解けました。
しかし、次の問題は私の苦手な一般項を使うようです・・・
(3x-2/x^2)^7におけるx^2・・・Iと1/x^2の係数・・・II
Iの答えは「０」IIの答えは「-22680」となるようです。
(3a+2b)^6の解き方のようには解けないでしょうか？
全く分かりません。
どうかご回答よろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> (1+x)^n=nCrx^r
> なぜこのようになるのか分かりません。
> 私は(1+x)^n=nCr1^n-r(x)^rとなると思ったんですが・・・

区切りが良く分からないので何とも言えませんが、
両者は同じ式に見えます。
1^(n-r)は常に1ですよね？　(1は何乗しても1のままなので)
だから1^(n-r) = 1と考えれば

(1+x)^n
= nCr1^n-r(x)^r
= nCr × 1 × (x)^r
= nCrx^r

となり、両者は同じ式になります。

> (3x-2/x^2)^7におけるx^2・・・Iと1/x^2の係数・・・II
> Iの答えは「０」IIの答えは「-22680」となるようです。
> (3a+2b)^6の解き方のようには解けないでしょうか？

[ (3x) - { 2/(x^2) } ]^7でしょうか。
基本的な考え方や解き方は同じです。同様の方法で解けます。
ただ、x^2を作るために3xがいくつ必要で、(-2/x^2)がいくつ必要かを考える必要があります。
同様に1/x^2を作るために3xがいくつ必要で、(-2/x^2)がいくつ必要かを考える必要があります。
後者だったら3xが4乗、(-2/x^2)が3乗で1/x^2が作れますが、前者はどうなるでしょう？
最終的な答えが0になるということは、何を意味しているのでしょう？

お礼

ご回答ありがとうございました。
回答者様の意見、とても参考になりました。
まだ理解するところまではいっていないのですが・・・
頑張って理解しようと思います。
ありがとうございました！

回答No.2

nettiw

二項定理、
(a+b)^n
=nＣ0(a^n)(b^0)+nＣ1(a^n-1)(b^1)+・・・+nＣr(a^n-r)(b^r)+・・・+nＣn(a^0)(b^n)

　　nＣr(a^n-r)(b^r)が一般項、nＣrが二項係数です。
　　何故こうなるかはtextに詳細に書かれています。
　　(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
　　(a+b)(a+b)(a+b)=a^3+3(a^2)b+3a(b^2)+b^3
　　と書けば類推可能ですが。

>> {(3x)+(-2y)}^30=30Cr{(3x)^30-r}{(-2y)^n} はマズイです。
{(3x)+(-2y)}^30の展開式の一般項が30Cr{(3x)^30-r}{(-2y)^n}。
>> (1+x)^n=nCrx^r　これもマズイですよ。
>>>> (1+x)^nの展開式の一般項は何故nCrx^rか。
1^n-r=1とすれば、
>> nCr(1^n-r)(x^r)　と同一式だから合っています。
>> 解説を見ると(1+x)^nを使う。
(1+x)^n=1+nＣ1・x+nＣ2・x^2+・・・+nＣr・(x^r)+・・・+(x^n)
と書いてあるのでしょう。

>> (3x+(-2/x^2))^7におけるx^2の係数。・・・I
この展開式の一般項は,
7Ｃr・(3x)^(7-r)・(-2/x^2)^r=(-1)^r・3^(7-r)・2^r・7Ｃr・x^(7-3r)

7-3r=2,,,r=5/3,,,rが整数にならないので、x^2の項はないので係数はゼロ。
実際に並べて見ると、
x^7, x^4, x^1, x^-2, x^-5 ,x^-8, x^-11, x^-14
確かにx^2の項はないですね。

>> 1/x^2の係数・・・II
7-3r=-2,,,r=3
(-1)^r・3^(7-r)・2^r・7Ｃr=(-1)^3・3^4・2^3・7Ｃ3=-81・8・35=-22680 ...

お礼

ご回答ありがとうございました。
二項定理って表現の仕方が難しいですよね・・・
回答者様の意見を参考に理解できるよう頑張ります！