二項係数に関する問題です

質問

（ｘ+ｙ）＾ｎの展開式における６項目は112、７項目は7、８項目は1/4であるとき、ｘ、ｙ、ｎの値を教えてください。

二項係数に関する問題ということはわかるのですが、二項定理をどう使えば答えにたどり着くのかわかりません。宜しくお願いします。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

(x+y)^n＝x^n＋(nC1)x^(n-1)y＋(nC2)x^(n-2)y^2＋・・・
の順に数えるのだとすると
６項目：(nC5)x^(n-5)y^5＝112・・・（１）
７項目：(nC6)x^(n-6)y^6＝7・・・（２）
８項目：(nC7)x^(n-7)y^7＝1/4・・・（３）

(１)／(２)より　x/y＝8(n-5)/3・・・（４）
(２)／(３)より　x/y＝4(n-6)・・・(５)

(４),(５)の右辺を等しいと置いて n＝8
(４)[または(５)]より　x＝8y
これらを（１）～（３）のいずれかに代入して
(x,y)＝(±4,±1/2)　[複号同順]

お礼

回答ありがとうございました。まだまだ完全に理解しているとはいえませんがしっかり勉強していきます。

回答No.3

oshiete_goo

＃２です．
(x,y)＝(±4,±1/2)　[複号同順]，n=8　・・・(＊)
の値は計算していけば出るのですが，一つだけ注意点があって，
これらの値が条件式（１）～（３）を全て満たすことを確認して，
『求まった値の組は確かに条件を全て満たす』ということを宣言しておいた方が良いでしょう．
値を求める際に必要条件として求めているので，本当に十分である(全ての条件を満たす)ことは確認しないと落とし穴があったりして一般にはキケンです．

回答No.1

running

展開すると６項目が１１２であることより
nC5*x＾5*y＾5＝112 ・・・(1)
７項目、８項目についても同様に(2)式、(3)式が成り立ちます。
今、文字はn、x、yの３つで式も３つなのでこれらの式は解けるはずです。
具体的には(1)割る(2)をするとy/x＝8/3(n-5)となり、(2)割る(3)からもy/x＝4(n-6)となります。この２式からｎが求まりますね。後はおまかせします。

お礼

アドバイスありがとうございます。*は乗法ですよね。これからも頑張ります