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二項定理
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- FT56F001
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[1] (x^2-2x+3)^6=(3+(x^2-2x))^6 =6C0*3^6 + 6C1*3^5*(x^2-2x) + 6C2*3^4*(x^2-2x)^2+6C3*3^3*(x^2-2x)^3 +6C4*3^2*(x^2-2x)^4+6C5*3^1*(x^2-2x)^5+・・・ (x^2-2x)^5以降はx^5以上になるのでx^4の項は出てこない。 (x^2-2x)^1の項もx^4は出てこない。 x^4が出てくるのは, 6C2*3^4*(x^2-2x)^2+6C3*3^3*(x^2-2x)^3+6C4*3^2*(x^2-2x)^4 だけで, 6C2 *3^4 x^4 + 6C3*3^3*3*x^2*(2x)^2 + 6C4*3^2*(2x)^4 の部分だけ。 よって, 6*5/2*81 + 6*5*4/3/2*27*3*4 + 6*5*4*3/4/3/2*9*16 =1215+6480+2160=9855 となる。 微分を使ってよければ, f=(x^2-2x+3)^6 f'(x)=6(x^2-2x+3)^5*(2x-2) f''(x)=30(x^2-2x+3)^4*(2x-2)^2 + 6(x^2-2x+3)^5*2 f'''(x)=120(x^2-2x+3)^3*(2x-2)^3+30(x^2-2x+3)^4*4*(2x-2)+60(x^2-2x+3)^4*(2x-2) =120(x^2-2x+3)^3*(2x-2)^3+180(x^2-2x+3)^4*(2x-2) f''''(x)=360(x^2-2x+3)^2*(2x-2)^4+120(x^2-2x+3)^3*3*2*(2x-2)^2+720(x^2-2x+3)^3*(2x-2)^2+180(x^2-2x+3)^4*2 =360(x^2-2x+3)^2*(2x-2)^4+ 1440(x^2-2x+3)^3*(2x-2)^2+360(x^2-2x+3)^4 f''''(0)=360*3^2*2^4 + 1440*3^3*2^2+360*3^4 =51840+155520+29160=236520 よってf(x)のテイラー展開のx^4の項は236520/4!x^4=9855x^4となる。 [2] (1+(x^2+x^4))^10 = 10C0 * 1 + 10C1 *(x^2+x^4) + 10C2*(x^2+x^4)^2+10C3(x^2+x^4)^3・・・・ (x^2+x^4)^3以降はx^6以上になるので,x^4は出てこない。 よってx^4の係数は 10C1 + 10C2=10+45=55
- info22_
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お書きの記号「*」(アスタリスク)は掛け算記号です。 べき乗記号(指数部を示す記号)は「^」です。この記号は、JISでは「アクサンシルコンフレックス」、正式には「キャロット」「カレット」などと読みます。パソコンのキーでは「へ」の左側にある記号です。半角英数字で「へ」のキーで入力できます。 (1)(x^2-2x+3)^6 〔x^4〕 x^4になる項の組み合わせの係数を足し合わせればいいでしょう。 x^2の項を2つ、定数項3を4つ x^2の項を1つ、-2xの項を2つ、定数項3を3つ -2xの項を4つ、定数項3を2つ で全部ですから、係数の合計は 6C2*(4C4*3^4)+6C1*(5C2*(-2)^2)*(3C3*3^3)+(6C4*(-2)^4)*(2C2*3^2) =1215+6480+2160=9855 (2) (1+x^2+x^4)^10 〔x^4〕 x^4になる項の組み合わせの係数を足し合わせればいいでしょう。 x^4の項を1つ、定数項1を9つ x^2の項を2つ、定数項1を8つ で全部ですから、係数の合計は 10C1*9C9+10C2*8C8 =10+45=55 したがって >(2)210 これは間違いと思うよ。確認下さい。
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