二項定理のところ

質問

nΣr=0{nCr(a^n+1-r・b^r)+(a^n+1-(r+1)・b^r+1)}
これが
n+1Σr=0{n+1Cr(a^n+1-r・b^r)｝となるらしいのですがなぜこうなるのかがわかりません。

この式には、nCr+nCr-1=n+1Crを用いたらしいのですが、この方程式も理解できません。どなたかにこれら二つをご教授いただきたいと思っています。よろしくおねがいします。

回答No.3

hugen

(1+2)+(3+4)+(5+6)=1+(2+3)+(4+5)+6

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

debut

nCr+nCr-1=n+1Cr　の方を証明します。
nPr=n(n-1)(n-2)・・・・(n-r+2)(n-r+1)－－－(1)
nP(r-1)=n(n-1)・・・・(n-r+2)　－－－(2)
(n+1)Pr=(n+1)n(n-1)・・・(n-r+2)－－－(3)

※例えば、n=10,r=5なら
　　10P5=10・9・8・7・6
　　10P(5-1)=10・9・8・7
　　(10+1)P5=11・10・9・8・7　です。

nCr+nC(r-1)
=(nPr)/r！＋{nP(r-1)}/(r-1)！　
=(nPr)/r！＋r {nP(r-1)}/r！　　＜＜1/(r-1)！=r/r！より＞＞
(1),(2)からnP(r-1)=(nPr)/(n-r+1)なので
={nPr+r(nPr)/(n-r+1)}/r！
通分して計算
={(n+1)nPr/(n-r+1)}/r！
(1),(3)から、{(n+1)/(n-r+1)}nPr=(n+1)Prなので
=(n+1)Pr/r！
=(n+1)Cr
です。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

quadlike

以下のように式変形すればよいと思います．

Σ[r=0,n+1]Ｃ[n+1,r](a^(n+1) - rb^r)
＝Σ[r=1,n]Ｃ[n+1,r](a^(n+1) - rb^r) + a^(n+1) + (a^(n+1) - (n+1)b^(n+1))
＝Σ[r=1,n](Ｃ[n,r]+Ｃ[n,r-1])(a^(n+1) - rb^r)+ a^(n+1) + (a^(n+1) - (n+1)b^(n+1))
＝Σ[r=1,n]Ｃ[n,r](a^(n+1) - rb^r) + Σ[r=1,n]Ｃ[n,r-1](a^(n+1) - rb^r)
　　+ a^(n+1) + (a^(n+1) - (n+1)b^(n+1))
＝Σ[r=1,n]Ｃ[n,r](a^(n+1) - rb^r) + Σ[r=0,n-1]Ｃ[n,r](a^(n+1) - (r+1)b^(r+1))
　　+ a^(n+1) + (a^(n+1) - (n+1)b^(n+1))
＝Σ[r=0,n]Ｃ[n,r](a^(n+1) - rb^r) + Σ[r=0,n]Ｃ[n,r](a^(n+1) - (r+1)b^(r+1))
＝Σ[r=0,n]Ｃ[n,r]((a^(n+1) - rb^r) + (a^(n+1) - (r+1)b^(r+1)))

込み入っているので打ち間違えがあるかもしれません．注意してください．

お礼

回答ありがとうございます