高校数学 二項定理の問題です

質問

途中までは解法の理解ができました
この先でつまずいています・・・

［問］　次の等式を満たす自然数ｎの値を求めよ

nＣｒ-1：nＣr：nＣr+1＝３：４：５のとき、ｎとｒを求めよ

とあり、解答はｎ＝６２，　ｒ＝２７　です

３（ｎ-ｒ）（ｎ－ｒ＋１）＝４ｒ（ｎ－ｒ）＝５（ｒ＋１）ｒ
となるところまでは解るのですがこの式をどのように解いていくと解答に繋がるのかが解りません・・・

どうかアドバイスをお願いします

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

3(n-r)(n-r+1)=4r(n-r)=5(r+1)r
は連立方程式
3(n-r)(n-r+1)=4r(n-r)
4r(n-r)=5(r+1)r
を意味します。n≠r,r=0であることは簡単に示せますので、
3(n-r+1)=4r
4(n-r)=5(r+1)
後は、nを消去すればOK

お礼

早速の回答ありがとうございます
おかげさまで解くことができました

回答No.3

noname#94461

No.2の回答で途中の式が間違っていたので訂正します。

20r=15(n-r+1); 4r=3(n+1); 誤り

20r=15(n-r+1); ==> 4r=3(n-r+1); ==> 7r=3(n+1); 正

回答No.2

noname#94461

nCr-1:nCr:nCr+1=3:4:5 ですから
各項に(r+1)!*(n-r+1)!/n! * (20,15,12)をそれぞれ掛けると

20*(r+1)*r=15*(r+1)*(n-r+1)=12*(n-r+1)*(n-r)
が成立します。
　　3(n-r)(n-r+1)=4r(...) ではないはずです。

20r=15(n-r+1); 4r=3(n+1)
15(r+1)=12(n-r); 9r+5=4n

以上から　r=27, n=62 となります。

お礼

アドバイスありがとうございます
予習範囲のため何かと解らないことが出てきますが地道にやっていきます