Σk^2の証明

質問

Σk^2=n/6*(n+1)*(2n+1) の証明の途中で

1/6*n*(n+1)*(2*n+1)*(n+1)2
=1/6*(n+1)[n*(2n+1)+6(n+1)]

という一節が出てくるのですが、この計算分かりません。
どうやってこの形にするのか、教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いします。m(__)m

回答No.2

0lmn0lmn0 · ベストアンサー

N=n のとき、
　　Σ[k=1,n](k^2)=(1/6)n(n+1)(2n+1) と仮定して、

N=n+1 のとき、
　　Σ[k=1,n+1](k^2)=(1/6)(n+1)(n+2){2(n+1)+1}となれば・・・。

＾＾＾＾＾

Σ[k=1,n+1](k^2)
　　　=　Σ[k=1,n](k^2)　+　{(n+1)^2}
　　　={(1/6)n(n+1)(2n+1)}+{(n+1)^2}

　　　　通分して、
　　　=(1/6)*{n(n+1)(2n+1)}+(1/6)*6{(n+1)^2}
　　　=(1/6)*[{n(n+1)(2n+1)}+6{(n+1)^2}]

　　　　ここで、共通因数(n+1)を外に出して、
　　　=(1/6)(n+1)[{n(2n+1)}+6{(n+1)]
　　　　としてあります。

　　　　以下は蛇足です。

　　　=(1/6)(n+1)[2(n^2)+7n+6]
　　　=(1/6)(n+1)[(n+2)(2n+3)]
　　　=(1/6)(n+1)(n+2){2(n+1)+1}

お礼

あ！なるほど！
通分してくくり出せば良かったんですね！
ご丁寧な回答ありがとうございました。
多謝　m(__)m

回答No.1

haru_yuki

Σk^2=n/6*(n+1)*(2n+1)が成立すると仮定して
両辺に(n+1)^2を足すと
左辺＝Σk^2のk=n+1まで
右辺＝n/6*(n+1)*(2n+1)+(n+1)^2
となり、これを丁寧に展開して
右辺＝1/6*(n+1)*(n+2)*(2n+3)
をなればよいので、上記の式は書き間違えだと思います。

数学的帰納法は力技でなんとかなる証明方法ですし、
参考書の解答は誤植がある場合もありますので、自力でがんばってください。

補足

すいません。私が間違えて書いていました。

1/6*n*(n+1)*(2*n+1)*(n+1)2
=1/6*(n+1)[n*(2n+1)+6(n+1)]

ではなくて

1/6*n*(n+1)*(2*n+1)*(n+1)^2
=1/6*(n+1)*[n*(2n+1)+6(n+1)]

でした。