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数学的帰納法の証明で・・・
問題の解答は以下のようになるそうですが、（★）より下の計算でなぜ A(k+1)-((k+1)+1)≧０ と証明できるのかわかりません。。お願いします。 （一般項 A(n) とします） A(n+1) = (An)^2 - A(n) + 1 (n≧2) が成り立っています。 また、 A(1)=2 です（使わないと思いますが念のため） n≧2 のとき、A(n)≧n+1 を証明します。 (1) n=2 のとき 省略 (2) A(k)≧k+1 が成り立つと仮定する。 A(k+1)-((k+1)+1) =(Ak)^2 - A(k) + 1 -(k+2) （題意より） =(A(k)- 1/2 )^2 + 3/4 - (k+2) （平方完成）（★） =(k+1- 1/2)^2+ 3/4 -(k+2) =(k+1)^2-(k+1)+1-(k+2) =(k+1)(k-1) ≧０ となり、n=k+1 のときも成り立つ。
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=(A(k)- 1/2 )^2 + 3/4 - (k+2) （平方完成）（★） ここで仮定を使ってA(k)≧k+1を代入すると ≧(k+1- 1/2)^2+ 3/4 -(k+2)・・・ここは≧です。 k+1はそのまま一つにして(k+1- 1/2)^2を展開する =(k+1)^2-(k+1)+1-(k+2) ＝k^2+2k+1-k-1+1-k-2 =k^2-1 （ここで、n≧2 のときを考えているのでk≧2はあたりまえ） =(k+1)(k-1) ≧０
その他の回答 (1)
証明に一部ミスがあります。 =(A(k)- 1/2 )^2 + 3/4 - (k+2) （平方完成）（★） =(k+1- 1/2)^2+ 3/4 -(k+2) =(k+1)^2-(k+1)+1-(k+2) １行目から２行目は等号ではなく，不等号「≧」でなければ なりません。そして，ここでは，コメントが必要です。 「A(k)が放物線の対称軸の右側で単調増加の部分にあること」を断ります。 ＝(A(k)- 1/2 )^2 + 3/4 - (k+2) 帰納法の仮定から，A(k)>1/2 なので （上式）≧(k+1- 1/2)^2+ 3/4 -(k+2) ＝(k+1)^2-(k+1)+1-(k+2) この部分は，次のようにすることもできます。 帰納法の仮定から A(k)≧k+1 なので A(k)-(1/2)≧k+(1/2) これから {A(k)-(1/2)}^2≧{k+(1/2)}^2 したがって (A(k)- 1/2 )^2 + 3/4 - (k+2) ≧{{k+(1/2)}^2 + 3/4 - (k+2) ＝k^2-1 ≧0
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回答ありがとうございました。 助かりました！
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お礼
よく分かりました！ ありがとうございました。