証明の問題 パート２

質問

１＋１/２＾２＋１/３＾２・・・＋１/n＾２≦２－（１/n）　(nは自然数)
数学的帰納法を用いて証明せよ。

途中まで考えてみました。
〔１〕n＝１の時
　　　左辺は１　右辺も１　よって成立
〔２〕n＝kの時
　　　１＋１/２＾２＋１/３＾２・・＋１/k＾２≦２－（１/k）で成立するとする。
ここからn＝k＋１の場合を考えればいいんですよね。なんだか混乱して分からなくなりました。簡単かもしれませんが、教えてください。

回答No.2

eatern27

n=kの時、成り立つと仮定すれば
１＋１/２＾２＋１/３＾２・・＋１/k＾２≦２－（１/k）
が成り立つ。この両辺に１/(k+１)＾２を足すと
１＋１/２＾２＋１/３＾２・・＋１/k＾２＋１/(k+１)^２≦２－（１/k）+１/(k+１)^２・・・(１)
が成り立つ。ここで、
{２－１/(k+１)}－{２－（１/k）+１/(k+１)^２}
＝－１/(k＋１)＋(１/k)-１/(k+１)^２
＝{－k(k＋１)＋(k＋１)^２－k}/k(k+１)^２
＝１/k(k+１)^２＞０(∵kは自然数)
よって
{２－（１/k）+１/(k+１)^２}＜{２－１/(k+１)}・・・(２)

(１),(２)より
１＋１/２＾２＋１/３＾２・・＋１/k＾２＋１/(k+１)^２＜２－１/(k+１)
よって、n=k+１の時も成り立つ。

任意の自然数nに対して
１＋１/２＾２＋１/３＾２・・・＋１/n＾２≦２－（１/n）　
が成り立つ。

回答No.1

tamagawa49

〔３〕n=k+1の時
左辺＝ 1+1/2^2+1/3^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2
　　≦ 2-(1/k)+1/(k+1)^2
　　＝ 2-{(1/k)-1/(k+1)^2}
　　＝ 2-{(k+1)^2-k}/k(k+1)^2
　　＝ 2-(k^2+k+1)/k(k+1)^2
　　＜ 2-(k^2+k)/k(k+1)^2
　　＝ 2-k(k+1)/k(k+1)^2
　　＝ 2-1/(k+1)
となりn=k+1のときも成立。(n=kのときは左辺<右辺が成立）
n=1のときは、左辺=右辺だから、それらを合わせて考えると、nが自然数のとき左辺≦右辺が成立といえるのではないでしょうか。

結構難しいですね。