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証明の問題 パート2

1+1/2^2+1/3^2・・・+1/n^2≦2-(1/n) (nは自然数) 数学的帰納法を用いて証明せよ。 途中まで考えてみました。 〔1〕n=1の時    左辺は1 右辺も1 よって成立 〔2〕n=kの時    1+1/2^2+1/3^2・・+1/k^2≦2-(1/k)で成立するとする。 ここからn=k+1の場合を考えればいいんですよね。なんだか混乱して分からなくなりました。簡単かもしれませんが、教えてください。

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  • 回答No.2

n=kの時、成り立つと仮定すれば 1+1/2^2+1/3^2・・+1/k^2≦2-(1/k) が成り立つ。この両辺に1/(k+1)^2を足すと 1+1/2^2+1/3^2・・+1/k^2+1/(k+1)^2≦2-(1/k)+1/(k+1)^2・・・(1) が成り立つ。ここで、 {2-1/(k+1)}-{2-(1/k)+1/(k+1)^2} =-1/(k+1)+(1/k)-1/(k+1)^2 ={-k(k+1)+(k+1)^2-k}/k(k+1)^2 =1/k(k+1)^2>0(∵kは自然数) よって {2-(1/k)+1/(k+1)^2}<{2-1/(k+1)}・・・(2) (1),(2)より 1+1/2^2+1/3^2・・+1/k^2+1/(k+1)^2<2-1/(k+1) よって、n=k+1の時も成り立つ。 任意の自然数nに対して 1+1/2^2+1/3^2・・・+1/n^2≦2-(1/n)  が成り立つ。

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  • 回答No.1

〔3〕n=k+1の時 左辺= 1+1/2^2+1/3^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2   ≦ 2-(1/k)+1/(k+1)^2   = 2-{(1/k)-1/(k+1)^2}   = 2-{(k+1)^2-k}/k(k+1)^2   = 2-(k^2+k+1)/k(k+1)^2   < 2-(k^2+k)/k(k+1)^2   = 2-k(k+1)/k(k+1)^2   = 2-1/(k+1) となりn=k+1のときも成立。(n=kのときは左辺<右辺が成立) n=1のときは、左辺=右辺だから、それらを合わせて考えると、nが自然数のとき左辺≦右辺が成立といえるのではないでしょうか。 結構難しいですね。

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