等式証明（シグマ記号入り）

質問

(1)ｎを自然数とするとき、次の等式が成り立つことを示せ
ｘ　Σ[k=1,n]ｋ(1+x)^(k-1)＋Σ[k=1,n+1](1+x)^(k-1)＝(n+1)(1+x)^n

この問題なのですが、左辺を計算しても右辺に持っていくことができませんでした。(1+x)^(k-1)というのが左辺の2つの項にあるのですがΣがあるので因数分解もできなく困っています。この共通している部分を生かせるのでしょうか？
それとも左辺を計算させて右辺に一致させるのではなく数学的帰納法を使うのでしょうか？
回答宜しくお願いします

回答No.1

leige · ベストアンサー

式を変形してやるなら
xΣ[k=1,n]ｋ(1+x)^(k-1)の部分を
(1+x)Σ[k=1,n]ｋ(1+x)^(k-1)-Σ[k=1,n]ｋ(1+x)^(k-1)
と分けて整理していくとうまくいくと思います。
上の式にした後は(x+1)の次数が前と後ろの項で違うので
それをそろえてみてください。

回答No.3

endlessriver

数学的帰納法を使わなくても出きる方法を紹介します。この場合は簡単になります。
表現の簡単化のためr=1+x
Sn=Σ[k=1,n]ｋ(1+x)^(k-1)　=　Σ[k=1,n]ｋr^(k-1)
Rn=Σ[k=1,n](1+x)^(k-1)　=　Σ[k=1,n]r^(k-1) とおきます。

すると(1-r)Sn=Rn-nr^n となります。・・・・(1)
これは等比級数Rnの和を求める方法と同じでΣの中を１つづらして計算しても、Snと-rSnの列を１つずらせて計算しても両端以外の各項は kr^(k-1) - (k-1)r^(k-1)=r^(k-1) となることから判ります。

問題の式は (r-1)Sn+R(n+1)=(n+1)r^n を証明することですが(1)式をこの左辺に代入すればSn,Rnを求めることなく簡単に解けます。

回答No.2

oyaoya65

＞それとも左辺を計算させて右辺に一致させるのではなく数学的帰納法を使うのでしょうか？

数学的帰納法でやってみたところ
上手く行きました。

この方法でも上手く行くことをお知らせしておきます。