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不等式の証明

FKG不等式に関連する次の不等式の問題: 数列{a_n},{b_n}を単調増大列とするとき、 (a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)/n≧{(a_1+a_2+…+a_n)/n}{(b_1+b_2+…+b_n)/n} を示せ。 を解きたいのですが、Abel変形(積分の部分積分に相当するテクニック)を使えば簡単に証明できるのは知っています。で、この不等式、数学的帰納法では解けないのか?ということが少し気になりました。 n=1なら自明で、n=kで成立すれば、n=2kで正しい、ということは容易に分かります。したがってn=2^mタイプの自然数に対しての成立は簡単ですが、任意のnについて成り立つことを帰納法でうまく示すことは出来ますか?何かアイデアがあればぜひ教えてください。n=k(≧2)で成り立てば、n=k-1でも成り立つ、みたいなことが言えるとよいのですが。

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  • 回答No.3

任意のα,βについて Σ(a_ib_i)/n≧(Σa_i/n)(Σb_i/n)⇔Σ(a_i-α)(b_i-β)/n≧(Σ(a_i-α)/n)(Σ(b_i-β)/n) である事は容易に確認できます。Σは1からnまでの和です。 つまり、a_i→a_i-α,b_i→b_i-βの変換に対して不等式,および,{a_n},{b_n}が単調増大列という前提は不変です。特に、α=a_1,β=b_1の場合を考えれば、a_1=0,b_1=0を仮定しても一般性を失わない事になります。 さて、nの時にその不等式が成り立つと仮定して、n+1の時に成り立つ事を示します。a_1=b_1=0を仮定してもよいので (Σ'a_ib_i)/(n+1)≧((Σ'a_i)/(n+1))((Σ'b_i)/(n+1)) を示せばいいことになります。Σ'は2からn+1までの和です。 帰納法の仮定より、 Σ'a_ib_i/(n+1)≧(Σ'a_i)(Σ'b_i)/n(n+1) となります。a_1=b_1=0と、{a_n},{b_n}が単調増大列である事より、Σ'a_i>0,Σ'b_i>0ですので、右辺は((Σ'a_i)/(n+1))((Σ'b_i)/(n+1)) より大きいです。

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質問者からのお礼

どうもありがとうございます。初項を0の場合に考えるとうまくいくのですね。大変参考になりました。

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  • 回答No.2

#1です。意図を間違えてしまいました。

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  • 回答No.1

数学的帰納法ではないのですが S=nΣaibi-(Σai)(Σbj)=Σ{ai(nbi-Σbj)}=Σ[i]Σ[j]ai(bi-bj) i,jを入れ替えたものを足して2でわって S=(1/2)Σ[i]Σ[j]{ai((bi-bj)+aj((bj-bi)} =(1/2)Σ[i]Σ[j]{(ai-aj)((bi-bj)} i>=jでもi<jでも和の各項は0以上。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。

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