証明したいことを証明の途中に使う

質問

nとaが互いに素　⇔ nとn-aが互いに素　の証明で2つ疑問がわいたので、質問します。
nとaの最大公約数をdとおくと n=Nd a=Ad (NとAは互いに素　これは背理法の証明
がインターネットでしらべれました。)　とおけます。このときn-a=(N-A)dです。
ここからが疑問です。NとAが互いに素より、NとN-Aも互いに素です。
自分はこの文は、nをN、aをAと置き換えてはいるが証明したいことであり、成り立つかわからないので証明の途中には使っていけないと思いました。証明の続きは、
よってdはnとn-aの最大公約数にもなるから、nとaが互いに素　⇔ nとn-aが互いに素です。で終わっていますが、２つ目の疑問が残りました、自分はd=1を証明しないといけない気がします。
自分の考えに間違いがあったら訂正をお願いします。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

もし本当にそれしか書いていないのであれば、要領を得ない論理だな... 「NとAが互いに素より、NとN-Aも互いに素です。」というのが正に証明する必要がある事項であって...

どう書けばいいかというと、
nとn-aが互いに素ではないとすると、あるd≧2 及び p, qがあって、n=dp, n-a = dqと書ける。この時 a=d(p-q)であり、d|n （これで「dはnを割り切る」の意味）、d|aとなる故、nとaは互いに素でない。対偶をとって、nとaが互いに素ならnとn-aは互いに素。

同様にnとaが互いに素でないとすると、あるd≧2 及び r,sがあって、n=dr, a = dsと書ける。この時n-a = d(r-s)であり、d|n, d|n-aとなる故、nとn-aは互いに素でない。対偶をとって、nとn-aが互いに素なら、nとaは互いに素。

と正直に書けばよいです。

お礼

対偶を使った証明を紹介してくださり、ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

なんか読み飛ばしているような気がするので、一度その証明を略さず全部書いてもらえますか？

お礼

お返事ありがとうございます。

補足

証明に付け加えた疑問を除いて、証明をすべて書くと、

nとaが互いに素　⇔ nとn-aが互いに素がわかれば良いでしょう。以下でそれを示してみましょう。
nとaの最大公約数をdとおくと n=Nd、a=Adとおけます。( NとAは互いに素)、このときn-a=(N-A)dです。
NとAが互いに素より、NとN-Aも互いに素です。よってdはnとn-aの最大公約数にもなるから、nとaが互いに素　⇔ nとn-aが互いに素です。

これで証明の全部です。